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Problema de Dido

En la Eneida de .Virgilio encontramos:

“En el siglo IX antes de Cristo, huyendo la princesa fenicia Dido de su hermano Pigmalión, rey de Tiro, que había asesinado a su marido, llega a las tierras del Norte de África (Túnez) donde alcanza un acuerdo con sus habitantes. Al querer la princesa Dido comprar tierra para establecerse con su pueblo, el rey de aquellas gentes solamente le consiente comprar la parcela de tierra que pueda ser cubierta por la piel de un toro. Dido cortó la piel en finas tiras formando una larga cuerda (de unos 1000 ó 2000 metros) y la dispuso de manera que cubriese la mayor parte de terreno posible…

Resolvió así el problema, también llamado isoperimétrico, de encontrar entre todas las curvas cerradas aquella que delimite la superficie más grande, anticipando un resultado de J. Bernouilli, la circunferencia.

Uno encuentra el problema de la Reina Dido en el escrito ilustrado que ha hecho Lord Kelvin en 1893, que incluye varias extensiones del problema original. Si uno toma en cuenta que el precio del terreno puede variar, o que la lnea costera puede ser irregular, uno puede llegar a varios problemas mas complicados. En una exposición mucho mas reciente, Hildebrandt y Tromba, en su libro The Parsimonious Universe: Shape and Form in the Natural World titulo Mathematics and Optimal Form), dan una cuenta mucho mas detallada de problemas isoperimetricos y de su recurrencia a  lo largo de la historia. En particular, es interesante comprobar cuantas ciudades amuralladas en la Edad Media fueron construdas de modo de tener un perímetro aproximadamente circular, o ver en general que el crecimiento de muchas ciudades les ha dado una forma casi circular.

Desde el punto de vista matematico, encontramos en los Elementos de Euclides(alrededor del 300 AC) la demostracion que entre todos los rectangulos del mismo perímetro el que encierra la mayor area es el cuadrado

Entre los antiguos griegos que trabajaron en el problema isoperimétrico se encuentran Zenodoro (140 AC), quien escribio un ensayo, ahora perdido, Sobre las guras isoperimétricas, y Ptolomeo ( 168 DC). Gracias a Theon de Alejandría (c. 335{c. 405 DC), quien escribio un comentario sobre el trabajo de Ptolomeo, es que ahora sabemos de los resultados de Zenodoro. Al Kindi, un matemático arabe, e hijo de uno de sus reyes, escribio en el siglo IX, un tratado de guras isoperimétricas y de isopifanas, es decir de sólidos de supercie dada.

Existe tambien un tratado perdido de AlHasan ibn al Haytham . 

 Abu Ja'far alKhazin, comentando sobre el Almagesto de Ptolomeo en el siglo X, generalizó los trabajos anteriores. Johannes de Sacrobosco , un escolar y astronomo ingles, escribió el Tractatus de Sphaera.

El estudio matemático del Problema Isoperimetrico y de problemas relacionados realmente comenzó a despegar con el surgimiento del cálculo, cuando Newton, Leibniz, los Bernoulli, y otros desarrollaron sistematicamente maneras de atacar problemas de optimización basadas en el cálculo.

En el siglo XIX Jakob Steiner atacó el problema isoperimétrico clásico usando herramientas geométricas directas, las cuales fueron muy sugerentes e instructivas, y condujeron a muchos desarrollos posteriores. Alrededor de esta epoca, sin embargo, Karl Weierstrass se dio cuenta que poda haber problemas sutiles al atacar ciertos problemas de optimización puesto que podra darse el caso que no existan funciones extremales. Desde entonces se ha reconocido que el problema de existencia es por donde uno debiera empezar al considerar muchos problemas de geometría y del cálculo de variaciones.

Un desarrollo muy fructífero que sucedió al iniciarse el siglo XX fue la observacion de Hurwitz que el problema isoperimétrico clásico podía ser resuelto completamente en términos de series de Fourier y de algunas de sus propiedades basicas (e.g., la desigualdad de Wirtinger).