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Al que le gustan las matemáticas las estudia

El que las comprende las aplica

El que las sabe las enseña

Y... ese

al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...

Ese dice como hay que aprenderlas,

como hay que aplicarlas

y como hay que enseñarlas. 

Traductor

 

Ideario

Así es, pues, la matemática; te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia que nos corresponde por el nacimiento (Proclo).”

 

Juro por Apolo délico y por Apolo pitio

Por Urania y todas las musas,

por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos,

y por todos los dioses y las diosas,

que nunca abandonaré las matemáticas

ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. 

Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable;

y que si lo cumplo, me sean favorables.

5 agosto 2013 1 05 /08 /agosto /2013 06:00

PROBLEMAS DEL MILENIO

En una conferencia publica en París el 24 de Mayo del año 2000 el Clay Mathematics Institute de Boston (USA) anunció siete premios de un millón de dólares cada uno a quienes resolviesen, a satisfacción de la comunidad matemática internacional, siete celebres problemas matemáticos que permanecían sin solución en esas fechas y, que a juicio de un selecto comité de profesionales, estaban entre los mas difíciles e importantes de la matemática en ese momento. En el comité figuraban Arthur Jaffe (Harvard), presidente que fue de la American Mathematical Society, y  presidente-fundador del Clay M. Institute, y los medalla Fields, Michael Atiyah (Cambridge), Edward Witten (Princeton) y Alain Connes (París). Entre los proponentes de problemas concretos figuraban, además, los conocidos matemáticos Enrico Bompieri, John Milnor y Andrew Wiles. Los siete problemas son:

1) P versus NP

Es un problema acerca de la eficiencia de los ordenadores al resolver  problemas. Fue planteado de manera independiente en 1971 por Stephen Cook y Leonid Levin, se considera que es el problema central de la computación teórica. Existen problemas P que son aquellos resolubles de manera determinista mediante algoritmos polinómicos y en un tiempo polinomial como, por ejemplo, resolver ecuaciones; sin embargo existen otros problemas NP que pueden resolverse de manera indeterminista conjeturando una solución, es más fácil y rápido comprobar una solución que generar una nueva. Está claro que todo problema resoluble en tiempo polinomial (P) admite también una comprobación rápida (NP) pero y recíprocamente, ¿existen problemas NP que no son P? 

2)La conjetura de Hodge

Fue formulada en el Congreso Internacional de Matemáticas celebrado en Cambridge (USA) en 1950 por William Vallance Douglas Hodge (1903-1975). El tema de la conjetura  es la geometría compleja, prediciendo una estrecha relación entre Geometría, Álgebra, Topología y Análisis. El problema de Hodge consiste en identificar qué elementos de la homología de una variedad proyectiva compleja y lisa se pueden representar algebraicamente.

Dicho de otra forma, el problema de Hodge pretende identificar qué formas topológicas son homólogas a una combinación lineal con coeficientes racionales de subvariedades algebraicas.

La conjetura de Hodge afirma que para ciertos espacios particulares llamados Variedades Proyectivas Algebraicas, todo ciclo de Hodge es una combinación lineal racional de ciclos algebraicos.

Atiyah y Hirzebruch mostraron en 1962 que la conjetura es falsa si se usan coeficientes enteros en vez de coeficientes racionales..

3) La Conjetura de Poincaré

Jules Henri Poincaré (1854-1912), padre de la Topología,  dedicó parte de su trabajo a clasificar algunas de las  superficies que existen en el universo, así como que objetos permanecen constantes por mucho que se deformen. En su conjetura trata de establecer que, en un mundo de 4 dimensiones, una esfera no tiene ningún agujero. A esta conclusión llegó a través del siguiente experimento: si se pone una goma elástica alrededor de una esfera (mundo de tres dimensiones) podemos encogerla, sin romperla y sin que deje de estar en contacto con la superficie, hasta que forme un punto. Es la llamada conectividad simple. La conjetura, planteada en 1904, se demostró primero para dimensiones superiores, asi en 1961 Zeeman la demostró para la 5-esfera, y Smale para las n-esferas con n mayor o igual que 7, para n=6 fue probada por Stallings en 1962 y para la 4-esfera por Freedman en 1982.La conjetura original resistido un siglo de esfuerzos, hasta los trabajos del ruso Grigori Perelman en 2002 y 2003 que le valieron la medalla Field, rechazada por este,  en el Congreso Internacional de Madrid. Los chinos Xi-Ping Zhi y Huai- Dong Cao realizaron el esfuerzo de entender y escribir por primera vez los detalles de la prueba de Perelman.

4) La Hipótesis de Riemann

Los primos han resistido el asedio de los matemáticos de todos los tiempos y siguen  sin develar sus secretos más profundos. Desde Euclides se sabe que los números primos son infinitos, desde entonces hay una caza de ellos. Gauss estableció, aproximadamente, el número de primos que hay entre 1 y N mediante la ley N/logN. Sobre 1730 Euler construyó la piedra Roseta de los números primos: la función zeta , la construyó de dos maneras, como suma de números naturales: ∑(1/n5)  o como producto de primos:

∏(p5/(p5-1). Riemann conjeturó que los ceros no triviales de ζ(s) están sobre una misma recta. La HR fue propuesta en 1859 y desde entonces nadie ha podido demostrarla, ni se sabe cuánto tiempo  puede llevar el hacerlo. La hipótesis puede ser verdadera o falsa, si es verdad en los primos reina la armonía, en caso contrario, el caos.

El 13 de Julio de 1885 Hermite y Stieltjes, en una nota en Comptes Rendus, anuncian la demostración de la hipótesis de Riemann que resultó falsa.

En 1896 Hadamard y La Vallée Poussin demuestran, independientemente, la conjetura de Legendre bajo la forma definitiva del teorema de los números primos: π(x)log(x)/x se acerca indefinidamente a 1 cuando x crece (el teorema de los números primos). Quizás sea el mejor resultado obtenido hasta ahora.

5) El problema de Yang-Mills

El problema de la masa en las teorías de Yang_Mills es, de los siete, el más directamente vinculado a la Física contemporánea  y el más desconocido para la comunidad matemática.

Sin entrar en los detalles técnicos del problema, hay una manera sencilla e intuitiva de comprender el problema en términos puramente físicos.

Desde finales de los años sesenta existe una teoría fundamental que explica a la perfección la teoría de las interacciones fuertes responsables de la estabilidad del núcleo atómico.

Esta teoría recibe la denominación de Cromodinámica Cuántica y su elemento esencial consiste en la descripción de la propagación relativista de dicha interacción fuerte a través de una partícula transmisora virtual conocida como gluón. El gluón juega en el mundo nuclear un papel análogo al del fotón en el mundo de las interacciones electromagnéticas. Ambas se propagan a la velocidad de la luz, sin embargo existen dos diferencias esenciales entre las mismas. El fotón posee una realidad experimental que nuestro ojos detectan en cada instante, sin embargo del gluón sólo observamos sus efectos secundarios. La otra gran diferencia estriba en que el fotón es una partícula sin masa lo que permite que se propague más lejos lo que da un alcance infinito a la interacción electromagnética y un gran tamaño, en términos de distancias fundamentales, al átomo y las moléculas. La interacción fuerte generada por los gluones sin embargo es de corto alcance y no va más allá del núcleo atómico. Esto sugiere que el gluón o sus partículas derivadas responsables de la interacción fuerte poseen en realidad una masa no nula. El explicar este fenómeno en términos de la cromodinámica cuántica, es decir a partir de primeros principios es el objeto del problema Clay.

Las leyes de física cuántica son al mundo de las partículas elementales lo que las leyes de la mecánica clásica de Newton son al mundo macroscópico. Hace casi medio siglo, Yang y Mills descubrieron que la física cuántica revela una relación importante entre la física de partículas elementales y las matemáticas de objetos geométricos. Las predicciones basadas en la ecuación de Yang-Mills han sido verificadas en experimentos con altas energías realizados en varios laboratorios alrededor del mundo: Brookhaven, Stanford, CERN (European Organization for Nuclear Research) y Tskuba. Sin embargo, no se conocen soluciones para tales ecuaciones que describan partículas con masa y que sean matemáticamente rigurosas al mismo tiempo. En particular, la hipótesis de "abertura de masa", la cual es tomada como cierta por los la mayoría de los físicos y usada en la explicación de la invisibilidad de los"quarks", nunca ha recibido una justificación matemática satisfactoria. Para obtener progreso en este problema se requerirá la introducción de nuevas ideas fundamentales en la física y la matemática.

6) Las ecuaciones de Navier-Stokes

Las ecuaciones fundamentales de la dinámica de fluidos, conocidas como ecuaciones de Navier-Stokes, surgieron del francés constructor de puentes Claude-Louis Navier y del matemático irlandés George Stokes.

El primero en obtener estas ecuaciones fue el francés en una época (1822) en que no se comprendía muy bien cuál era la física de la situación que estaba matematizando. De hecho, lo único que hizo fue modificar unas ecuaciones ya existentes y obtenidas por Euler, de modo que incluyesen las fuerzas existentes entre las moléculas del fluido. Aproximadamente 20 años después, Stokes justificó las ecuaciones del ingeniero francés deduciéndolas adecuadamente.

A pesar de que las ecuaciones de Navier-Stokes son sólo una aproximación del comportamiento real de los fluidos, se utilizan para estudiar cualquier aspecto que tenga que ver con éstos; el problema es que si uno estudia el movimiento de un fluido con estas ecuaciones, es incapaz de prever si ese movimiento se va a mantener siempre o se va a complicar. Los matemáticos creen que una explicación para la predicción de estos fenómenos pasa por la comprensión de las soluciones de estas ecuaciones. El reto es realizar algún progreso substancial hacia la teoría matemática que permita comprender los secretos escondidos dentro de las ecuaciones de Navier-Stokes. En definitiva se trata de encontrar una teoría matemática que fundamente estas ecuaciones que estudian las turbulencias en líquidos y gases.

7) La Conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer

Ya sabemos que no existen métodos generales para resolver las ecuaciones diofánticas tal y como estableció en 1970 Matiyasevich al establecer la irresolubilidad del décimo problema de Hilbert sin embargo, la conjetura de Birch y Swinnerton-Dyer afirma que en el caso de las soluciones de las ecuaciones diofánticas generales, cuando éstas son los puntos de una variedad abeliana, el conjunto de los puntos que son soluciones racionales de las mismas depende de la función zeta, z(n), asociada, de modo que si z (1) = 0, hay infinitas soluciones, y si z(1) ≠ 0, el número de soluciones es finito.

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Published by Antonio Rosales Góngora. - en Historia Matemáticas
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