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Al que le gustan las matemáticas las estudia

El que las comprende las aplica

El que las sabe las enseña

Y... ese

al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...

Ese dice como hay que aprenderlas,

como hay que aplicarlas

y como hay que enseñarlas. 

Ideario

Así es, pues, la matemática; te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia que nos corresponde por el nacimiento (Proclo).”

 

Juro por Apolo délico y por Apolo pitio

Por Urania y todas las musas,

por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos,

y por todos los dioses y las diosas,

que nunca abandonaré las matemáticas

ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. 

Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable;

y que si lo cumplo, me sean favorables.

14 julio 2014 1 14 /07 /julio /2014 06:58

Teorema de Pitágoras

La Silla de la Novia

 

"La multitud de demostraciones del teorema de Pitágoras ilustra de forma sorprendente el hecho de que hay muchas formas de alcanzar la misma verdad" (S. Loomis). Es posible que los geómetras egipcios, los escribas babilonios o la civilización hindú conocieran este teorema siglos antes del nacimiento de Pitágoras. Pero, en todo caso, "el teorema del cuadrado sobre la hipotenusa", "la silla de la novia", "el teorema de la mujer casada",.... continuó causando admiración lo largo de los siglos: en 1927 el profesor E. S. Loomis recopiló 370 demostraciones diferentes del teorema de Pitágoras. 

Diógenes Laercio en su Vida de los más ilustres filósofos griegos recoge (Pitágoras VIII.7) una referencia de un tal Apolodoro «El Calculador» sobre Pitágoras, en la que asegura que este filósofo sacrificó una hecatombe –cien bueyes–, habiendo hallado que en un triángulo rectángulo «la potestad de la línea hipotenusa es igual a la potestad de las dos que lo componen». Continua diciendo que Apolodoro compuso un epigrama en verso:

«Pitágoras

hallada / aquella nobilísima figura /bueyes mató por ello en sacrificio».

También Vitrubio escribe en  Los diez libros de la Arquitectura  (Libro IX,Cap.2):

«Pitágoras halló y demostró teóricamente la forma de la escuadra, consiguiéndose por su raciocinio y método una escuadra perfecta: coda que los artífices, después de mucho trabajo, apenas pueden lograr. Porque si se toman tres reglas, una larga de tres pies, otra de cuatro, y la tercera de cinco, adaptándolas de forma que se toquen unas a otras por sus extremidades en figura de triángulo, se tendrá una escuadra perfecta. [...]  Cuando Pitágoras halló esto, no dudando que las musas le habían iluminado en su invención, dicen que las hizo sacrificios en acción de gracias.»

Asimismo, Proclo, en sus Comentarios al Libro I de los Elementos de Euclides da cuenta de la invención pitagórica y del sacrificio ofrecido:

«Si escuchamos a los que gustan recordar a los antiguos, encontraremos que ellos atribuyen este teorema a Pitágoras y dicen que sacrificó un buey cuando lo descubrió 

Para demostrar el teorema de Pitágoras, Euclides utilizó en cambio una bella demostración en la que se usa una figura que se ha descrito a veces como un molino de viento o como una cola de pavo real o bien como la silla de la novia (figura inicial)

 

El área del triángulo AFB  es (AF A'B)/2, y como  A'B=FG resulta que: 

Área(AFB)=(AF FG)/2=(Área cuaddrado lado AC)/2

 .El área del triángulo ACD es (AD C'C)/2, y como  C'C=AL  resulta que Área (ACD)= (AD AL)/2=(Área rectángulo de lados AL y AD)/2.

Como es fácil ver, los triángulos AFB y ACD son iguales (AC=AF, AD=AB)( y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado AC  es igual al área del rectángulo de lados AL y AD.

  •  

                

  • El área del triángulo ABK es (BK H'A)/2, y como H'A=KH  resulta que Área(ABK)=(BK KH)/2= (área cuadrado de lado BC)/2.
  • El área del triángulo BCE  es  (BE B'C)/2, y como  B'C=BL resulta que :
  • Área(BCE)=(BE BL)/2= (Área rectángulo lados BL y BE)/2.
  • Como es fácil ver, los triángulos ABK y BCE son iguales (BC=BK,BE=BA) y el ángulo determinado por estos lados es el mismo), obtenemos que el área del cuadrado de lado BC es igual al área del rectángulo de lados BL y BE.

A partir de la época de Euclides se han propuesto una infinidad de demostraciones alternativas.

Es de notar, a cuenta de los méritos de Euclides, el que el teorema de Pitágoras vaya seguido inmediatamente por una demostración del recíproco: si en un triángulo el cuadrado construido sobre uno de los lados es igual a la suma de los cuadrados sobre los otros dos lados, entonces el ángulo que forman estos otros dos lados es un ángulo recto. Es frecuente en algunos libros de texto modernos que los ejercicios que siguen alteorema de Pitágoras requieran no el teorema propiamente dicho, sino el recíproco no demostrado aún. Puede haber muchos defectos menores en los Elementos, pero el libro tiene todas las virtudes lógicas mayores.

  • Demostración del Teorema de Pitágoras utilizando la proporcionalidad entre los lados de los triángulos semejantes que se forman al trazar la altura correspondiente a la hipotenusa:

Los triángulos BAC y BHA son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, B. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que \frac{\overline{BA}}{\overline{BH}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{BA}} \Rightarrow \overline{BA}^2=\overline{BC} \cdot \overline{BH}(es el Teorema del Cateto).

Los triángulos BAC y AHC son semejantes pues tienen un ángulo agudo igual, C. Entonces sus lados homólogos son proporcionales y se cumple que

 \frac{\overline{AC}}{\overline{HC}}=\frac{\overline{BC}}{\overline{AC}} \Rightarrow \overline{AC}^2=\overline{BC} \cdot \overline{HC}

(es el Teorema del Cateto referido al otro cateto).

Sumando las dos igualdades anteriores y operando tenemos el Teorema de Pitágoras: 

Sumando las dos igualdades anteriores y operando tenemos el Teorema de Pitágoras: \overline{BA}^2+\overline{AC}^2=\overline{BC} \cdot \overline{BH}+ \overline{HC} \cdot \overline{BC}=\overline{BC} \cdot (\overline{BH}+\overline{HC})=\overline{BC} \cdot \overline{BC}=\overline{BC}^2.

  • Veamos ahora una demostración gráfica del Teorema de Pitágoras:

Los dos cuadrados grandes son iguales ya que tienen el mismo lado b + c, y cada uno tiene en su interior cuatro triángulos rectángulos iguales, de lados a (hipotenusa), b y c. Los dos cuadrados sombreados que aparecen en la figura de la izquierda tienen una superficie de b² y c², respectivamente. El cuadrado sombreado que se representa en la figura de la derecha tiene por área a². Las áreas sombreadas que aparecen en las figuras 1 y 2 son iguales, ya que corresponden al área del cuadrado grande menos el área de los cuatro triángulos. Por tanto, tenemos el teorema de Pitágoras: a^2=b^2+c^2

  • Visión intuitiva, según Schopenhauer, del Teorema de Pitágoras:

 

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Published by Antonio Rosales Góngora. - en Tema del día
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