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LA CONJETURA DE KEPLER (1611)-TEOREMA DE HALES 

No hay una forma más eficaz de apilar naranjas que la que utilizan los fruteros de todo el mundo. 

(Más eficaz=Más densa). Empaquetando como los fruteros las naranjas ocupan aproximadamente el 74% del espacio.

Hacia 1590 Sir Walter Raleigh pregunta a Thomas Harriot cómo calcular cuántas balas de cañón se pueden apilar en la cubierta de un barco. Harriot no tiene dificultad en hacerlo, pero no sabe si la manera en que colocan las balas los artilleros es óptima, y se lo pregunta a Kepler.

En 1611 Kepler escribe en Strena sue de nive sexangula [El copo de nieve de seis esquinas] que, haciendo como los artilleros, “el empaquetamiento será el más apretado posible”, pero  no lo demuestra

Thomas C. Hales trabajaba en la Universidad de Michigan cuando anunció la demostración de la Conjetura de Kepler. Actualmente es Profesor en la Universidad de Pittsburgh

Su demostración incluye, además de varias ideas brillantes, un uso intensivo de ordenadores. Hales asocia a cada estructura de esferas un grafo plano. El último paso de la demostración se “reduce” a estudiar unos 5.000 grafos planos, para lo que hay que resolver unos 100.000 problemas de optimización lineal en unas 200 variables. Esto no se puede hacer sin ordenador, y la dificultad de comprobar el código provocó el retraso de la publicación y que haya aparecido en dos revistas distintas: en Annals of Mathematics la parte “teórica” y en Discrete & Computational Geometry la “computacional”. Hales está actualmente trabajando en un proyecto para “garantizar” la validez de las pruebas con ordenador

Una diferencia entre el plano y el espacio La manera más densa de empaquetar círculos en el plano es el empaquetamiento hexagonal.

Cada círculo queda totalmente rodeados por otros. En el espacio, si rodeamos una esfera con otras podemos poner 12, ¡pero queda espacio libre! ¿Cabe una 13ª esfera? La respuesta es NO. Pero que estudiar cómo rodear una sola esfera no sea suficiente es una de las grandes dificultades del Problema de Kepler en el espacio. ¿Y a quién le importa? 

•Entender los empaquetamientos ayuda en el estudio de estructuras moleculares. Los ánodos del cloruro sódico se organizan como las naranjas en las fruterías. 

•Los análogos del Problema de Kepler en más dimensiones son útiles para conseguir sistemas eficaces de telecomunicación.