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Fórmula de Euler

El matemático inglés Roger Cotes publicó un resultado en su obra Harmonia mensurarum (1722) que parece haber sido obtenido en 1714, en nuestra notación actual sería:

En realidad se trata ya de la fórmula de Euler, pues basta usar la definición de logaritmo y despejar el argumento. Téngase en cuenta que «ln» significa «logaritmo en base e». Es decir:

La última expresión es la que se conoce, actualmente, como fórmula de Euler. Por último, resaltar que hay incluso antecedentes a la expresión de Cotes, pero sería meternos en algo más profundo.

La realidad es que el propio Leohard Euler no escribió la fórmula tal como acabamos de ver arriba, se cree que su primer uso fue en torno a 1740. En Introductio in analysin infinitorum (1748, la edición enlazada es de 1797) realiza un recorrido previo por las propiedades de tres funciones: exponenciales, logaritmos y razones trigonométricas. Un estudiante de cuarto de ESO avispado podría seguir algunos de los razonamientos, incluso sin saber latín. En la página 104 del Vol. 1 puede leerse los siguiente:

Justo al final, en la penúltima línea, ahí podemos encontrar la verdadera fórmula de Euler:

donde:

de donde tendríamos: 

sustituyendo:

que origina la identidad de Euler

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