La prueba de la completitud del cálculo de predicados afianzó a los matemáticos que trabajaban en el campo de los fundamentos en idea de que el programa de Hilbert sería viable. Sin embargo, un año después, en 1931, el propio Gödel echó por tierra todas esas esperanzas con la publicación de su escrito Sobre proposiciones indecidibles en los Principia Mathematica y sistemas afines. Este trabajo, uno de los más famosos de la historia de la matemática y seguramente el más controvertido (se han dado más de cien vanos intentos de refutación) pasó sin embargo inadvertido a la mayor parte de los matemáticos de su tiempo, desconocedores en su casi totalidad de las nuevas técnicas introducidas por los lógicos. Afortunadamente, Gödel tuvo ocasión de discutir sus hallazgos con Von Neumann y a través suyo en el mismo 1931 los nueveos resultados pasaron a ser conocidos en Princeton por Alonzo Church, Berkley Rosser y Stefan Klene, que tan gran papel habrían de jugar en el desarrollo posterior de la lógica matemática.El primer resultado negativo que se sigue del escrito de Gödel implicaba la imposibilidad de encontrar un sistema de axiomas del que pudiesen derivarse formalmente todas las proposiciones válidas de la teoría de números, base de gran parte de la matemática. Una consecuencia inmediata de la imposibilidad de axiomatizar completamente la aritmética era la no existencia de un algoritmo de decisión, ya que toda teoría decidible es axiomatizable. Gödel probó incluso el carácter esencialmente indecidible de cualquier teoría construida a partir de una aximática parcial de la aritmética, siempre que el sistema de axiomas cumpliese un mínimo de requisitos, sin los que infinitud de proposiciones aritméticas elementales no podrían ser demostradas. Por lo demás, todos estos resultados podían ser extendidos a la teoría formal de conjuntos.
Los comienzos de la lógica moderna
Primer gran teorema de Gödel: la completitud del cálculo de predicados
Con objeto de dar una idea, siquiera superficial, de la forma en que Gódel logró demostrar su famoso teorema, comenzaremos estableciendo la distinción básica que existe entre una teoría matemática formal y su metateoría.
Mientras una teoría -por ejemplo, la geometría euclídea, la aritmética, el análisis- tiene por objeto el estudio de las propiedades de los objetos que pretende describir -puntos, rectas, planos... en la geometría, los números naturales en la aritmética, los reales en el análisis-, la correspondiente metateoría tiene como objeto el estudio de las propiedades de la teoría en cuestión. Así, por ejemplo, la metaaritmética no versará sobre los números, sino sobre las propiedades de la teoría de números. Los teoremas de la metaaritmética serán, por tanto, proposiciones relativas a la consistencia, axiomatizabilidad, decibilidad, existencia de modelos,etcétera... de la teoría de números
La idea de partida de Gödel consiste en hacer corresponder a cada fórmula aritmética un número natural, para lo cual comienza asignando un número natural a cada símbolo del lenguaje en que la aritmética se describe. De esta forma, si por ejemplo, a los símbolos «x», «=» y «0» corresponden los números ocho, siete y uno, entonces Gödel asigna a la fórmula- «x = 0» el número 28 37. 51 (dos, tres, cinco son los tres primeros números primos).
Iterando el procedimiento, Gödel hace corresponder también un número natural a toda sucesión infinita de fórmulas. De esta manera, ciertos predicados metamatemáticos tales como «ser una fórmula», «ser una demostración», «ser demostrable», etcétera, dan lugar a predicados numéricos. Así, por ejemplo, «ser una fórmula» da lugar al predicado que verifican aquellos números naturales que son el número de una fórmula. Por otra parte, ciertos predicados numéricos elementales -llamados técnicamente recursivos- pueden ser definidos mediante una fórmula aritmética. Así, por ejemplo, el predicado «ser igual o menor que» viene definido por la fórmula (Ez) (x + z = y). De esta forma, proposiciones metaaritméticas de carácter elemental entran en correspondencia con fórmulas aritméticas. Y la clave de la famosa prueba de Gödel estriba en haber encontrado una fórmula metamatemática de que ella misma era indemostrable. Entonces, siguiendo los argumentos de la paradoja de Richard, Gödel prueba que ni esa fórmula ni su negación pueden ser un teorema, a menos que el sistema sea inconsistente (W-consistente, en términos técnicos más precisos). La prueba, sencilla, parte de una hipótesis metamatemática, de ella infiere que tiene que verificarse un cierto teorema aritmético, que a su vez implica la validez de una proposición metamatemática..., hasta lograr probar que la fórmula autorreferente no podría ser demostrada ni refutada.
Consecuencias
Una consecuencia del teorema de incompletitud, basada en que el razonamiento metamatemático que conduce a la demostración de la proposición «si la aritmética es consistente, entonces la fármula que expresa su propia indemostrabilidad no puede ser probada» utiliza únicamente reglas de deducción que son válidas dentro de la aritmética, es la imposibilidad de dar una prueba de la consistencia de la aritmética que sea reproducible dentro del formalismo aritmético. Lamentablemente, este genial teorema ha sido frecuentemente mal interpretado, habiéndose extrapolado sus consecuencias al terreno de la filosofía e incluso al de la mente humana.
Un riguroso análisis del teorema de Gödel lleva, sin embargo, a la conclusión de que su validez sólo es aplicable a sistemas formales que verifiquen prescripciones muy estrictas, algunas de carácter muy técnico, que impiden extender su validez fuera del campo de las matemáticas.
