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LEY DE RECIPROCIDAD CUADRÁTICA

El primero que ofrece de manera implícita una parte de la primera ley complementaria de la L.R.C. es Diofanto de Alejandría, en su obra Arithmetica. Luego, Fermat motivado por este libro encuentra parte esencial de la primera ley complementaria de la L.R.C. como lo expresa en una carta a su amigo Mersenne en 1640.

Fue Kronecker, quien en 1875 sugirió el hecho de que la L.R.C. había sido ya expuesta por Euler en 1783, quien se inició en el estudio de esta ley gracias al trabajo antes realizado por Fermat. Euler encuentra entre 1741 y 1742 la primera o forma implícita de la L.R.C. y posteriormente en 1772 consigue la segunda o forma explícita de la L.R.C., publicada despues de su muerte en Opuscula Analitica de 1783.

Cabe notar ahora que ninguno de estos matemáticos demostró la L.R.C. Tan solo posteriormente Legendre ofreció una prueba parcial de dicho teorema.

Fue en 1796 cuando Carl Friederich Gauss realizó la primera demostración completa de la L.R.C., publicándola posteriormente en su magna obra Disquisitiones Arithmeticae. A lo largo de su vida Gauss realizó 8 demostraciones de esta ley que el denominó Theorema aureum.

Es importante resaltar que las demostraciones de Gauss sirvieron de impulso para que otros grandes matemáticos se dieran a la tarea de desarrollar teorías tan importantes como la teoríaa algebraica de núumeros

En matemática, dentro de la teoría de números la ley de reciprocidad cuadrática designa al "teorema áureo" que relaciona la solubilidad de dos congruencias de segundo grado relacionadas:

x² ≡p (mod q)

y² ≡q (mod p) 

 donde p y q son números primos impares.

Si p y q son dos primos impares distintos entonces:

i) Si alguno de los dos p o q, es de la forma 4k + 1, entonces p es un resto cuadrátrico de q si y solo si q es un resto cuadrático de p.

ii) Si ambos, p y q son de la forma 4k+3, entonces p es un resto cuadrático de q si y solo si q es un no resto cuadrático de p.

También se puede expresar utilizando el símbolo de Legendre