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EL TEOREMA DE INCOMPLETITUD DE GÖDEL (1931): En todo sistema formal hay resultados verdaderos que no se pueden demostrar dentro del sistema.

La paradoja de Russell

Intuitivamente un conjunto es una colección de objetos. Un conjunto puede ser o no un elemento de si mismo: el conjunto de los números naturales no es un número natural; el conjunto de los conjuntos infinitos es él mismo un conjunto infinito.

Sea X el conjunto de los conjuntos que no son elementos de si mismos. ¿Es X un elemento de X? Un momento de reflexión te convencerá de que cualquier respuesta lleva a una contradicción.

Esta paradoja, planteada por Bertrand Russell (1872-1970, matemático, filósofo, pacifista,Nobel de Literatura) en 1901 puso de manifiesto que la idea intuitiva de conjunto no bastaba. Las reglas [axiomas] para formar conjuntos debían precisarse dentro de un sistema formal.

Kurt Gödel nació en Brünn, Austria-Hungría (ahora Brno, República Checa) en1906 y falleció en Princeton, U. S. A, en 1978. Era Profesor en la  Universidad de Viena, pero una combinación de mala salud, haber sido tomado por judío (tras la ocupación de Austria por los Nazis) y el temor de ser reclutado por el ejercito alemán, le hicieron marchar a Estados Unidos. Allí fue miembro del Instituto de Estudios Avanzados de Princeton (1940-1953) e hizo gran amistad con Einstein, y luego Profesor de la Universidad de Princeton, donde su contrato especificaba que no tenía obligación de dar clase.

El sueño imposible

A principios del siglo XX el trabajo sistemático en los fundamentos de las Matemáticas había conseguido basarlas en sistemas formales sólidos que evitaban paradojas como la de Russell. En particular la Teoría de Conjuntos de Zermelo- Fraenkel [junto al Axioma de Elección] formalizaba las Matemáticas clásicas.

Muchos matemáticos pensaban que sobre estos firmes cimientos se podrían construir demostraciones de cualquier resultado matemático. Ya en 1900, en la famosa conferencia en que planteó sus 23 problemas, David Hilbert (1862-1943) 

dijo: “Oímos en nuestro interior la llamada perenne: he ahí el problema. Busca la solución. Puedes encontrarla por puro razonamiento, porque en matemáticas no hay ignorabimus”.

En 1930, agradeciendo un homenaje por su jubilación, Hilbert terminó su discurso diciendo: “Debemos saber. Sabremos.”

Pocos meses después Gödel destrozaba este sueño.