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Al hablar de infinito, imagino algo que no tiene medida alguna. ¿Cómo podría tener una proporción específica si estamos hablando de algo interminable? Pero las matemáticas están llenas de sorpresas bien abstractas. La noticia del momento es el debate sobre el infinito; unos dicen que se trata de un concepto, otros aseguran que se habla de un número. De hecho, por casi un siglo y medio, el debate sobre los posibles tamaños del infinito han invadido las matemáticas. Ciertamente, suena incomprensible que algo supuestamente interminable pueda adjudicársele una medida, pero así caminan estas ciencias numéricas. 

Los investigadores nos dan el ejemplo del continuum en la recta numérica y cómo, más allá del mismo, es posible encontrar infinitos más grandes, es decir, es posible hablar de infinitos más pequeños que otros y una progresión interminable de algunos enormes, todos ellos, nos dicen, entidades sin fin. ¿Cómo es eso posible? 

“Debe ser falsa o verdadera”, escribió en 1947 el lógico matemático Kurt Gödel, “y su indecidibilidad de los axiomas como los conocemos hoy, sólo puede significar que estos axiomas no contienen una descripción completa de la realidad”. 

Así inicia un largo y tortuoso camino numérico en la búsqueda de axiomas más complejos; no olvidemos que los sistemas axiomáticos son los “bloques de construcción del universo de las matemáticas”, escribió Natalie Wolchover para Quanta Magazine. Por lo tanto, si el matemático no puede confiar en sus axiomas, es difícil confiar en los teoremas que realizas. Nuevas propuestas aparecieron en el pizarrón, como el establecimiento de una ausencia de infinitos entre los números enteros y el continuum, de esta forma, se ponía un fin al caos de tener tantos infinitos con infinitas variedades de infinitos. 

“Varias teorías han surgido respecto a nuevos sistemas de axiomas sobre infinitos. Sin embargo, hay algunos teóricos que piensan que es inservible pensar que un axioma es verdadero y otro no ya que existen innumerables universos matemáticos, mientras en algunos una hipótesis es verdadera, en otros puede ser falsa. También hay algunos escépticos”, añadió Peter Koellner, profesor de filosofía en la Universidad de Harvard, especializado en lógica matemática. “Personas que por razones filosóficas piensan que la teoría de altos infinitos y teoría de continuum, ni siquiera tiene sentido”. 

¡Y no es para menos! La noción de un infinito numérico en potencia o la de un concepto infinito manejable es realmente inquietante. De hecho, ha estado con las matemáticas desde que comenzaron a trabajar en ella; hoy, los físicos se preguntan cuáles objetos realmente infinitos se encuentran en el mundo real. 

“El matemático alemán Georg Cantor le vendió el infinito a la comunidad matemática del siglo XIX, inventó una rama de colecciones de elementos que iban desde el vacío o equivalente a cero, al infinito. Su teoría de conjuntos era tan útil para describir objetos matemáticos que en décadas se convirtió en el campo habitual. La teoría Zermelo-Fraenkel, o ZFC, fue establecida y ampliamente adoptada para el 1920. Uno de los axiomas dice que dos conjuntos son iguales si contienen los mismos elementos. Otro simplemente afirma que existen conjuntos infinitos”, escribió Wolchover. 

Muchos matemáticos odiaban todos estos infinitos pero no fue hasta más de una década después que Gödel demostró que era imposible confiar en esos axiomas del ZFC, y aunque muchos decían que estos problemas no eran relevantes en la matemática regular, era vital que se resolvieran. Así, concibió la teoría de V=L que propone la ausencia de infinitos y que nos lleva, justamente, a la noticia actual y los métodos de forcing axiomas como el de Cohen y el Máximo de Martin. 

En la reunión de matemáticos en Harvard, el debate continuaba con nuevas teorías presentadas. Algunos dicen que "L" a lo mejor ni siquiera existe, que la teoría de Martin o el axioma de Cohen son inservibles y que el debate realmente revela una falta de intuición humana en relación con el concepto de infinito. 

“Las matemáticas tienen una reputación de objetividad y tendrán que resolver el problema. Para ello, varias propuestas tienen que estar erradas. Sin objetos infinitos en el mundo real sobre los que basar las abstracciones, la verdad matemática se convierte, en cierta medida, en una cuestión de opinión”, expresó Justin Moore, de la Universidad Cornell.

Glenys Álvarez