Matemalescopio

El arte de hacer matemáticas consiste en encontrar ese caso especial que contiene todos los gérmenes de la generalidad

D.Hilbert

 Matemáticos que han nacido o fallecido el día 9 de Octubre

Curiosidades del día

• Hoy es el ducentésimo octogésimo segundo día del año.
• 282 es un número abundante pues cumple que la suma de sus divisores propios es mayor que el propio número.
• 282 es un número odioso pues su expresión binaria contiene un número impar de unos.
• 282 es un número palíndromo, capicúa.
• 282=4^1/2+4⁴+4!
• 282 = T₃ + T₄ + ... + T₁₁
• 282 es un número libre de cuadrados pues no se repite ningún factor en su descomposición factorial.
• 282 es un número interprimo pues equidista del primo anterior,281, y del posterior, 283
• 282 es un número de Ulam pues es un elemento de la sucesión u(n) definida por u(1) = 1, u(2) = 2 y, para n > 2, u(n) es el entero más pequeño que se puede escribir exactamente de una forma como suma de dos términos anteriores diferentes entre sí.
• 282 es un número ondulado
• 282 es un número cortés pues puede expresarse como suma de naturales consecutivos 18 + ... + 29
• 282 es un número aritmético pues la suma de sus divisores es un número entero , 72

• Un número admirable es un número tal que s (n) (la suma de los divisores de n) - 2d (para algún divisor d de n) = 2n. Para 282 eso funciona con d = 6. 576 - 12 = 564 = 2 x 282.

• El número triangular 282 es el primer número triangular divisible por 47

  Tal día como hoy del año:
• 1775, En la Academia de San Petersburgo se presentó un artículo de Euler, Speculationes circa quasdam insignes proprietates numerorum. En este artículo, revisa la idea que ha llegado a llamarse función Phi de Euler. Presentó la idea a la Academia por primera vez el 15 de octubre de 1759, pero no incluyó un símbolo o nombre. Euler definió la función como "la multitud de números menores que D, y que no tienen ningún divisor común". (Esto es un poco diferente a la definición actual que utiliza que el máximo divisor común es uno). En los artículos anteriores, no había utilizado un símbolo, pero eligió πD como símbolo. En 1801, Disquisitiones Arithmeticae de Gauss introdujo la notación Phi, aunque Gauss no usó paréntesis alrededor del argumento y escribió φA. El término Totient fue aplicado por JJ Sylvester en 1879. Así que no es Phi de Euler, y no es Totient de Euler, y de hecho, la función ahora no es exactamente la función de Euler.
• 1926 ,Saturday Evening Post imprime la historia de "Cocos" de Ben Ames Williams con un problema de cinco hombres, un mono y un montón de cocos. En la semana siguiente, 2000 cartas al Correo exigen saber la respuesta. El editor en jefe Horace Latimore envió a Williams un telegrama enfático, "POR EL AMOR DE MIKE, ¿CUÁNTOS COCOS? EL INFIERNO ESTÁ LLEGANDO AQUÍ".David Singmaster atribuye el primer problema de este tipo al "Ganita-sara-sangraha" de Mahavira en el año 850.
• 1972, El Dr. Jeffrey Hamilton de la Universidad de Warwick quiso mostrar a sus estudiantes el efecto del azar lanzando una moneda. Sacando una moneda de 2 peniques de su bolsillo, la arrojó, luego vio cómo golpeaba el suelo, giraba y se detenía en el borde. El profesor Hamilton me dice que docenas de estudiantes presenciaron el asombroso evento, y después de un silencio atónito todos rompieron en aplausos. También podrían hacerlo, porque no es necesario ser un matemático distinguido de Cambridge para postular que ninguno de ellos volverá a ver tal evento.
• 2014, la oficina de correos de Macao en la República Popular de China emitió una serie de sellos basados ​​en cuadrados mágicos.
• 2012, El Premio Nobel de Física se concede conjuntamente a Serge Haroche y David J. Wineland "por métodos experimentales innovadores que permiten medir y manipular sistemas cuánticos individuales". Su trabajo puede eventualmente ayudar a hacer posible la computación cuántica.

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac

El matemático, poeta y traductor francés Claude Gaspart Bachet de Meziriac es el autor de " Problèmes plaisans et délectables, qui se font par les nombres" . la segunda edición contiene la primera prueba conocida de la llamada identidad de Bezout: Para toda pareja de enteros a y b existen enteros x e y tales que ax+by=m.c.d.(a,b). Formó parte  del  grupo  de  científicos  que se  reunían  semanalmente,  desde  1630  en  adelante,  en  la  llamada  Académie Mersenne. Bachet impulsó el estudio de la teoría de números, a la que prestó un  gran  servicio  publicando (1621)  el  texto  griego  y  una  traducción  latina  de  la  Aritmética  de  Diofanto. Uno de los ejemplares de esta edición fue la que manejó Fermat, anotando la mayoría de sus resultados  en sus  márgenes,  y  comunicando  por  carta  unos  cuantos  de  estos  resultados  a  sus  amigos.  
Este  ejemplar,  con  las  notas  marginales  de  Fermat,  fue  publicado  por  su  hijo  en  1670. Fermat  tenía  plena conciencia de la novedad e importancia de sus logros, y así dice en uno de sus comentarios: “La teoría de los números enteros, que es muy hermosa y sutil, no fue conocida hasta hoy, ni por Bachet ni por  otros”.  Bachet  escribió  una  obra  con  el  título  Problemas amenos  y  agradables  que  se  hacen  con  los  números  (1612),  primer  tratado  moderno  de matemática  recreativa.  En  una  segunda  edición  de  1624,  añadió  a  los  juegos  con  números y  con  naipes,  la  construcción  de  cuadrados  mágicos  y  problemas  de  análisis indeterminado. Estudió las ecuaciones lineales, ocupándose de los problemas indeterminados, siendo el primero en Europa que estudió la resolución de este tipo de problemas por medio de números enteros

El astrónomo, matemático y físico alemán Karl Schwarzschild es  reconocido por ser el primero que predijo la existencia de los agujeros negros. Sus primeros dos artículos sobre astronomía fueron publicados mientras estaba en la escuela y amplió sus estudios en las universidades de Estrasburgo y Munich, tras los que le nombraron director del Observatorio de Gotinga en 1901 y del Observatorio Astrofísico de Potsdam en 1909. Participó como voluntario en la I Guerra Mundial, pero fue dado de baja por invalidez tras contraer una extraña enfermedad de la piel, a causa de la cual falleció el 11 de mayo de 1916. Sus aportaciones fueron por lo general teóricas y relacionadas con física solar, relatividad, cinemática estelar, magnitudes fotográficas y óptica geométrica. En 1916 postuló el 'radio de Schwarzschild' sobre la base de la teoría general de la relatividad propuesta por Albert Einstein: cuando una estrella de gran masa explota como una supernova, puede desprender un residuo tan compacto que permanece por completo dentro de este radio. Nada, ni siquiera la luz, puede escapar de su intenso campo gravitatorio. A estos objetos se les conoce como agujeros negros. 

El matemático escocés Joseph Henry Maclagan Wedderburn tras dar ejemplos de cuerpos no conmutativos publicó el teorema que lleva su nombre: todo cuerpo finito es conmutativo.

Wedderburn realizó estudios de postgrado Universidad de Leipzig y en la Universidad de Berlín. Su viaje alemán le permitieron trabajar con Frobenius y Schur . Se le concedió una beca Carnegie para estudiar en los Estados Unidos y pasó 1904-1905 en la Universidad de Chicago, donde realizó el trabajo conjunto con Veblen . Chicago era, por supuesto, un excelente lugar para continuar su interés por profundizar en el álgebra pues, además de Veblen , Eliaquim Moore y LE Dickson estaban allí en ese momento. La determinación de las álgebras de división finitos  era un problema muy natural a la luz de la labor realizada en Chicago, y tan pronto como llegó a Chicago, Wedderburn comenzó a trabajar en él, en estrecho contacto con Dickson 

Este teorema dio, como corolario, la estructura completa de todas las geometrías proyectivas finitas

En 1907 publicó Wedderburn lo que es quizás su más famoso trabajo sobre la clasificación de las álgebras semisimples. En este trabajo sobre los números hipercomplejos que aparecieron en las Actas de la Sociedad Matemática de Londres, demostró que cada álgebra semisimple es una suma directa de álgebras simples y que un álgebra simple era una matriz de álgebra sobre una división del anillo

Wedderburn hizo avances importantes en la teoría de anillos, álgebra y teoría de matrices. Su trabajo matemático fue hecho antes de su servicio en la guerra. En total, publicó alrededor de 40 obras sobre todo en anillos y matrices. Publicó en 1934 su famoso libro Conferencias sobre Matrices (1934).  

Entre los honores que recibió se encuentra la Medalla de Oro MacDougall-Brisbane  y Premio de la Royal Society de Edimburgo en 1921, y la elección a la Royal Society de Londres en 1933.

Georges De Rham es conocido por su contribución a la topología diferencial. En 1931 demostró el teorema de De Rham que demuestra que los grupos de cohomología de De Rham son invariantes topológicos. 

 De Rham, además de el teorema, es el autor de un teorema de reducibilidad de espacios de Riemann  que es fundamental en el desarrollo de la geometría de Riemann. También trabajó en la torsión Reidemeister siendo su trabajo el inicio una  rápida evolución.

Terminamos con dos descripciones del personaje de Rham, la primera por Bott y el segundo por Chandrasekhar .

... de Rham tenía un encanto sutil que atrajo a los jóvenes a él inmediatamente. En los primeros días de Princeton que fácilmente se mezclan con los investigadores posdoctorales bulliciosos, sus exquisitos modales contrastan graciosamente con nuestras formas groseras. Siempre fue delgado y uno podía sentir el acero en sus nervios, pero nunca se jactó de sus hazañas de montañismo y sólo de segunda mano que el temerario en él se hizo evidente ...

La segunda descripción: 

Dura como el acero en su adhesión a los principios, resistente, aplacable,  generoso más allá de los dictados de la moda, firme en la amistad, pero no en el precio de la razón, de Rham pasó por el mundo de las matemáticas como un guerrero feliz.

De Rham recibió muchos honores. Fue Presidente de la Unión Matemática Internacional 1963 a 1966. Fue elegido miembro de las academias de Lincei , Göttingen, y el Instituto de Francia. Recibió títulos honorarios de las universidades de Estrasburgo, Genoble, Lyon, y l'École Polytechnique Fédérale de Zurich. Recibió el Premio de la Fundación Marcel Benoist y de la ciudad de Lausana.

Georges de Rham fue también un reconocido montañista. Abrió rutas muy difíciles, algunos en el Alpes del Valais (sur borde de Stockhorn Baltschieder ...) y Vaud (Argentina, Pacheu ...)

Benjamin Banneker  fue un astrónomo, compilador de almanaques e inventor estadounidense. Era un afroamericano libre quien poseía una granja cerca de Baltimore, fue principalmente un autodidácta en astronomía y matemáticas. En 1761 se hizo notar por construir un reloj de madera que medía el tiempo con bastante precisión.

Comenzó a hacer cálculos astronómicos en 1773, prediciendo acertadamente un eclipse solar en 1789 y publicó anualmente, desde 1791 hasta 1802, el almanaque y las efemérides de Pensilvania, Delaware, Maryland y Virginia. En 1790 fue adscrito a la comisión que elaboraría el levantamiento de planos en la obra de Washington, D.C. También escribió ensayos condenando la esclavitud y la guerra. 

En 1977 se erigió un obelisco conmemorativo en Maryland.

Santaló

El matemático español Luis Antonio Santaló Sors, (1911-2001) nació en Gerona. Se licenció (1934) en matemáticas en Madrid. Completó su formación en Hamburgo. Se doctoró en la Universidad de Madrid (1936). Influido por Rey Pastor desde Argentina, se trasladó a este país, donde fue profesor en la Universidad de Buenos Aires desde 1967. Investigó en geometría integral (de la que fue pionero), geometría estadística y estereología. Escribió más de ciento cincuenta trabajos de investigación matemática, y casi un centenar de artículos de divulgación y conferencias. Publicó más de cincuenta libros, entre ellos Introducción a la geometría integral (1953), Geometría integral y probabilidad geométrica, Enciclopedia de matemáticas y sus aplicaciones (1976). Interesado en la formación matemática escribió tres libros destinados a los alumnos de los tres primeros años de la escuela media, bajo el título Matemática. Iniciación a la creatividad. Escribió, con S. Ríos y M. Balanzat, El matemático Julio Rey Pastor (1979).

Segner

El matemático  y  físico  alemán Johann  Andreas  von Segner,   nació  en  Presburgo  (Hungría;  hoy, Bratislava,  Eslovaquia).  Profesor  de  matemáticas  y  física  en  Jena,  Gotinga  y  Halle.  Introdujo el  concepto  de  tensión  superficial  de  los  líquidos.  Escribió  Lecciones  (1747)  y  Elementos (1756) dedicados a la aritmética y geometría, y Naturaleza de las superficies de los líquidos

Malfatti

El matemático  italiano Gianfrancesco Malfatti estudió  en  Bolonia. Trabajó en diferentes áreas de las matemáticas, álgebra, análisis, mecánica, geometría y teoría de la probabilidad. Fue catedrático de Matemáticas e Hidrostática de la Universidad de Ferrara, uno de los fundadores de la Società Italiana delle Scienze (1782), así como uno de los participantes más activos del proyecto de la Nuova Enciclopedia Italiana (1779), que surgió siguiendo el mismo espíritu de la Encyclopèdie francesa, editada por Diderot y D’Alambert.

Es conocido principalmente por el problema que lleva su nombre, el problema de Malfatti, que planteó y solucionó en su artículo Memoria sopra un problema stereotomico (es decir, Memoria sobre un problema estereotómico), publicado en 1803 en la Memoria di Matematica e Fisica della Società Italiana delle Scienze.

En unión de Giordano, resolvió el problema, que lleva el nombre de Giordano, de inscribir en un círculo un polígono cuyos lados pasan por puntos dados. Propuso el problema que lleva su nombre, consistente  en  encontrar  tres  círculos tales  que  cada  uno  de  ellos  toque  a  los  otros  dos  y,  al  mismo  tiempo, a dos lados de un triángulo dado. Dio una solución algebraica a su problema, sin demostrarla. Estudió diversas curvas como los óvalos.

Behnke

Heinrich Behnke  fue un matemático alemán que trabajó en análisis complejos, además de su trabajo sobre análisis complejo, Behnke escribió muchos artículos sobre matemáticos. Por ejemplo, publicó trabajos sobre Weierstrass, Toeplitz, Reidemeister, Hopf, Aleksandrov, Klein, Blumenthal, von Neumann y Lorey. También fue un destacado experto en educación matemática publicando artículos como Freiheit und Autorität im Mathischen Leben (1972) que considera la relación profesor-alumno y la forma en que un marco, como el programa Erlanger, puede ser inmensamente estimulante y, sin embargo, terminar ser asfixiante y tener que ser descartado. También, Die Autonomie der Geometrie (1971) que considera la forma en que se enseña la geometría en las escuelas.

Deans

La matemática Winifred Margaret Deans estudió matemáticas en Cambridge. Después de un período en la enseñanza se unió a la editorial Messrs Blackie and Sons, Ltd como editora asistente en ciencias.

Gracias a sus conocimientos de matemáticas y física y a sus habilidades de lenguaje, tradujo para esta editorial importantes textos científicos en alemán, como Selected Papers on Wave Mechanics de L. de Broglie y L. Brillouin (1928) o The restless universe de Max Born (1935).Después de la Segunda Guerra Mundial, trabajó en la Oficina de Nutrición Animal de la Commonwealth en Aberdeen

Fan Chung

Fan Rong K Chung Graham, conocido profesionalmente como Fan Chung, es un matemático que trabaja principalmente en las áreas de teoría de grafos espectrales, teoría de grafos extremos y grafos aleatorios, en particular en la generalización del modelo Erdős-Rényi para grafos con distribución general de grados. (incluyendo gráficos de ley de potencias en el estudio de grandes redes de información).

Fue durante sus años como estudiante en Taiwán cuando se sintió atraída por primera vez por la combinatoria, el área en la que pronto comenzaría a investigar: 
... muchos problemas de la combinatoria se explicaban fácilmente, se podía abordar rápidamente, pero salir a menudo era muy difícil ... Más tarde descubrí que había todo tipo de conexiones con otras ramas de las matemáticas, así como con muchas aplicaciones 

Chung se graduó con una licenciatura en matemáticas en 1970 y luego se fue a los Estados Unidos para realizar sus estudios de posgrado. Entró en la Universidad de Pensilvania, pero al principio Herbert Wilf, profesor de Matemáticas en la Universidad de Pensilvania, apenas se fijó en ella. Wilf escribe  : -
Nunca presté atención a los estudiantes graduados hasta que pasaron sus exámenes de calificación. Mi política entonces era ir tras el mejor estudiante e intentar que se metiera en combinatoria. El año en que tomó el examen, 1971 , obtuvo el puntaje más alto con diferencia; había una gran brecha entre ella y el siguiente mejor estudiante. Así que la busqué de inmediato (nunca antes había hablado con ella) y le pregunté si sabía algo sobre combinatoria. Dijo que sabía un poco de sus días en la Universidad Nacional de Taiwán, pero no demasiado. Saqué una de mis materias magnéticas, la teoría de Ramsey , que garantiza que los estudiantes de posgrado se enganchen a la combinatoria porque es algo muy bonito. Le di un libro y le dije que leyera el capítulo sobre teoría Ramsey . Programamos una cita en una semana para hablar de ello. Cuando llegó a la cita, le pregunté si le había gustado el capítulo. Ella sonrió y dijo que estaba bien. Luego abrió el libro con un teorema clave y dijo, con suavidad: "Creo que puedo hacerlo un poco mejor con la demostración". Mis ojos estaban desorbitados. Estaba muy emocionado. Le pedí que fuera al pizarrón y me lo mostrara. ¡Lo que escribió fue increíble! En solo una semana, desde un comienzo en frío, obtuvo un resultado importante en la teoría de Ramsey . Le dije que acababa de hacer dos tercios de una tesis doctoral. "¿En realidad?" dijo ella suavemente. De hecho, el resultado se convirtió en una parte importante de su disertación.

En 1975 publicó Gráficos reorganizables óptimos en los que proporcionó un método para encontrar el número mínimo de aristas que puede tener un gráfico reorganizable para cualquier elección de subconjuntos no vacíos de su conjunto de vértices.

Desde 1983 está casada con el matemático Ronald Graham. Eran amigos cercanos de Paul Erdős y ambos han publicado artículos con él; por lo tanto, ambos tienen el número de Erd de 1.
Ha publicado más de 200 artículos de investigación y tres libros

Grosseteste

Sabio,  filósofo  natural  y  teólogo  inglés Robert Grosseteste estudió  en  la  Universidad  de  Oxford.  Fue  canciller  de  Oxford  (1215-1221).  Desde  1229  a  1235  fue  profesor  de  teología  de  los  franciscanos,  siendo  obispo  de  Lincoln  desde  1235  hasta  su  muerte.  
Grosseteste sintió la necesidad de obtener principios generales a partir de la experimentación, y de las deducciones en las que las matemáticas jugaran un papel y que pudieran entonces ser contrastadas con los hechos. Defendió enérgicamente la importancia de la matemática en la enseñanza, aunque él no era matemático.  Creía  que  la  naturaleza  siempre  actúa  en  la  mejor, mínima  y  matemáticamente  manera  posible. Aportó algún avance en el estudio de la luz. Grosseteste también hizo traducciones al latín de muchos escritos científicos griegos y árabes. Escribió un comentario sobre el análisis posterior y la física de Aristóteles y muchos tratados sobre temas científicos, incluidos De Generatione Stellarum, Theorica Planetarum y De astrolabio. En un texto de astronomía, afirmó que la Vía Láctea era la fusión de la luz de muchas estrellas pequeñas cercanas. Su alumno, Roger Bacon, lo llamó "el mayor matemático" de su tiempo. El trabajo de Grosseteste sobre física óptica influyó en los matemáticos y filósofos de la naturaleza durante generaciones, especialmente en Oxford durante el siglo XIV y en Praga durante el XV. 

Day

El matemático canadiense Richard Alan Day trabajó en teoría de celosía y álgebra universal. Desde 1959 a 1963 Day estudió matemáticas en la Universidad McMaster en Hamilton, Ontario. Su resultado no fue sobresaliente, ya que en esta etapa no veía que las matemáticas desempeñaran un papel importante en su futuro. Después de graduarse en 1963 fue Navegante Líder en el Escuadrón 415 ( MP ) . Ocupó el rango de Capitán y pasó cuatro años en este cargo. Sin embargo, fue durante estos años que se aburrió de la vida en la Fuerza Aérea y se dio cuenta de que, de hecho, su verdadero amor eran las matemáticas. Comenzó a trabajar en ese tema y en 1967 renunció a la Fuerza Aérea y comenzó a estudiar una maestría en McMaster. Si su solicitud se hubiera basado únicamente en su historial de pregrado, es poco probable que McMaster lo hubiera aceptado en su programa de posgrado, pero las matemáticas que había hecho mientras estaba en la Fuerza Aérea fueron suficientes para convencerlos de su potencial de investigación. De hecho, Day demostró rápidamente que tenía un potencial de investigación excepcional. En nueve meses completó su maestría y presentó una tesis de maestría sobre clases de ecuaciones modulares . Se graduó en mayo de 1968 y publicó los resultados de su tesis en el artículo Una caracterización de la modularidad para retículas de congruencia de álgebras publicado en laCanadian Mathematical Bulletin en 1969 . Continuó investigando en McMaster para obtener un doctorado asesorado por Günter Bruns

Algunos de los primeros trabajos de Day son: Los inyectivos en clases de retículas ecuacionales no distributivas son triviales (1970) , Una nota sobre la propiedad de extensión de congruencia (1971) , Injetividad en clases de álgebras ecuacionales (1972) , Álgebras de división y una noción débil de proyectividad (1973) , mónadas de filtro, celosías continuas y sistemas de cierre (1975) y celosías de división generan todas las celosías (1975) .

Sus pruebas implicaban una manipulación sutil de términos y, cuando un colega le preguntó cómo había encontrado una prueba particularmente sólida, respondió: "Simple. Vine a trabajar por la mañana, escribí las ecuaciones y traté de manipularlas. Después de dos años de hacer esto todos los días, encontré la prueba ".

Verbiest

Ferdinand Verbiest fue un misionero flamenco, jesuita. Estudió teología en Sevilla y posteriormente se ordenó sacerdote. Ante la prohibición de ir a América fue mandado a China (Beijing) por petición propia en 1959, donde permaneció varios años en prisión, hasta ocupar al fin el cargo de presidente del despacho de matemáticas del emperador.

Ferdinand Verbiest en 1680 construyó un carro de cinco ruedas propulsado por vapor, por lo que puede decirse que fue el inventor del coche. Determinó los principales puntos geográficos del Imperio y dirigió las negociaciones que fijaron las fronteras entre Rusia y China. Escribió numerosas obras en latín y en chino y continuó la labor de apostolado intelectual iniciada por Ricci.

Tras un profundo análisis de la Astronomía China, descubrió numerosos errores cometidos por sus mejores astrónomos. Intentando remediar la situación los denunció, le granjeó importantes enemistades llevándole a la cárcel con una condena de muerte. La suerte jugó en su favor y tras producirse un temblor de tierra el emperador le perdonó ante el miedo de que fuese provocado por el propio Berviest. La condición: un reto con los astrónomos chinos. Tras su victoria, se ganó la amistad del Emperador y fue nombrado presidente del tribunal de Matemáticas. Con muchas dificultades consiguió que reformaran el calendario: “carezco del poder de convencer al cielo que se adapte a vuestro calendario”.

Su nombre aparece en un libro popular entre los 108 héroes más importantes de china y gracias a él, muchos miembros de la familia imperial abrazaron el cristianismo. 

Askey

El matemático estadounidense Richard A. Askey estudió en las Universidades de Washington (1955), Harvard (1956) y Princeton (1961). Profesor en la Universidad de Wisconsin-Madison. Trabajó, como G. Gaspar, en el teorema de Loewner, en torno a la conjetura de Bieberbach . Escribió Polinomios ortogonales y funciones especiales. Es conocido por su trabajo sobre funciones especiales, incluidos los polinomios de Askey-Wilson , que presentó en 1984 con James A. Wilson. Las funciones especiales son una clase de funciones matemáticas que surgen en la solución de varios problemas clásicos de la física y otras ramas de las matemáticas. Algunos ejemplos de funciones especiales incluyen la función gamma, la función hipergeométrica, la función de Whittaker , la función G de Meijer, la función de Bessel , la función de Legendre y la función de cilindro parabólico. Las funciones especiales se pueden definir mediante series de potencias, funciones generatrices, productos infinitos, diferenciación repetida, representaciones integrales, ecuaciones diferenciales, en diferencias, integrales y funcionales, series trigonométricas u otras series en funciones ortogonales.