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Teorema del día
5 Noviembre 2025 , Escrito por Antonio Rosales Góngora.
CONJETURA DE CATALAN
Conjetura de Catalan (Teorema de Mihailescu) : Sean x, y, p, q enteros positivos tales que xp-yq=1. Se deduce que x=q=3; y=p=2. En otras palabras, 8 y 9 son las únicas potencias perfectas consecutivas no triviales.
Como el último teorema de Fermat, la solución a esta conjetura de 1844 por Eugéne Catalan se fraguó a lo largo de un amplio periodo de tiempo. Victor Lebesgue pronto estipuló que q es distinto de 2 (1850), pero a partir de ahí se tardó más de un siglo hasta que Chao Ko, en torno a 1960, estableció el otro caso cuadrático: p distinto de 2, excepto para x=3. Esto redujo el problema a p,q primos impares, y, expresando la ecuación como (x−1)×(xp−1)/(x−1)=yq, se pudo demostrar que el máximo común divisor de los dos factores de la izquierda tenía que ser o bien 1 o bien p. El primer caso fue resuelto por J.W.S Cassels en1960; sólo quedaba el “Caso II”, MCD=p. Fue ese último formidable escollo el que Mihailescu superó. En 2000 mostró que p y q tendrían que ser un denominado “par de Wieferich” de tal forma que pq−1≡1 (mod q2) y qp−1≡1 (mod p2); finalmente,en 2002, probó que tal soluci ón tampoco era posible.
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