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Teorema del día
5 Noviembre 2025 , Escrito por Antonio Rosales Góngora.
CONJETURA DE CATALAN
Conjetura de Catalan (Teorema de Mihailescu) : Sean x, y, p, q enteros positivos tales que xp-yq=1. Se deduce que x=q=3; y=p=2. En otras palabras, 8 y 9 son las únicas potencias perfectas consecutivas no triviales.
Como el último teorema de Fermat, la solución a esta conjetura de 1844 por Eugéne Catalan se fraguó a lo largo de un amplio periodo de tiempo. Victor Lebesgue pronto estipuló que q es distinto de 2 (1850), pero a partir de ahí se tardó más de un siglo hasta que Chao Ko, en torno a 1960, estableció el otro caso cuadrático: p distinto de 2, excepto para x=3. Esto redujo el problema a p,q primos impares, y, expresando la ecuación como (x−1)×(xp−1)/(x−1)=yq, se pudo demostrar que el máximo común divisor de los dos factores de la izquierda tenía que ser o bien 1 o bien p. El primer caso fue resuelto por J.W.S Cassels en1960; sólo quedaba el “Caso II”, MCD=p. Fue ese último formidable escollo el que Mihailescu superó. En 2000 mostró que p y q tendrían que ser un denominado “par de Wieferich” de tal forma que pq−1≡1 (mod q2) y qp−1≡1 (mod p2); finalmente,en 2002, probó que tal soluci ón tampoco era posible.
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Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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