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PROBLEMAS MATEMÁTICOS CON HISTORIA (XXIII)
9 Julio 2013 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Historia Matemáticas
ECUACIONES DIOFÁNTICAS
El ladrillo perfecto de Euler
Se trata de un paralelepípedo rectangular cuyos lados a,b,c, las diagonales de sus caras √(a2+b2), √(a2+c2), √(b2+c2), la diagonal principal √(a2+b2+c2), son números enteros. Hasta ahora no hay ningún ejemplo de este ladrillo perfecto
Distancia de un punto a los vértices de un cuadrado
Si consideramos en el plano un cuadrado de lado unidad, ¿existe algún punto del plano cuya distancia a los cuatro vértices del cuadrado se exprese como un número racional?, o en otras palabras, ¿existe un cuadrado de lado n, natural, tal que exista un punto del plano situado a una distancia natural de los cuatro vértices del cuadrado?
Se puede construir un enunciado paralelo para la esfera: ¿Se pueden trazar cuatro círculos de radios racionales, sobre una esfera de radio unidad , tales que sean tangentes dos a dos?
Lados y segmentos notables de un triángulo
Existe solución para el problema de expresar diecisiete medidas de un triángulo, los tres lados, las tres alturas, las tres bisectrices interiores y las tres bisectrices exteriores, los dos radios del círculo circunscrito e inscrito y los tres radios de los círculos exinscritos. Sin embargo, otro enunciado más simple no tiene solución aún: ¿existe un triángulo cuyos lados, medianas y área sean números naturales?
La ecuación a5+b5=c5+d5
Existen soluciones para las ecuaciones:
a2+b2=c2+d2 como 12+182=102+152;
a3+b3=c3+d3 como 13+123=93+103;
a4+b4=c4+d4 como 1334+1344=594+1584 pero no se conoce relación similar para a5+b5=c5+d5
Fracciones egipcias
Se trata de expresar una fracción como suma finita de inversas de números enteros. Paul Erdös, entre sus muchas conjeturas, estableció la siguiente: “Para todo entero n>1, existe enteros a ,b, c tales que 4/n=1/a+1/b+1/c”
Las fracciones 1/x, 1/y, 1/z cuyo numerador es uno y cuyo denominador es entero positivo se llaman fracciones egipcias.
Se sabe que la ecuación tiene solución siempre que n sea diferente de 24k+1,por ejemplo para n=7 se tiene 4/7=1/3+1/6+1714, pero no se ha podido demostrar para todo n.
Factoriales y cuadrados
¿Existe una pareja de enteros p y q, p>7 tales que p!=q2-1?. Se sabe que 4!+1=52; 5!+1=112 y 7!+1=712 pero no se conocen más soluciones.
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Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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