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PROBLEMAS MATEMÁTICOS CON HISTORIA (XXV)
LOS 23 PROBLEMAS DE HILBERT
En un resumen rápido de la carrera de Hilbert podríamos citar su interés y conocimiento de una gran variedad de disciplinas y una fuerte conexión con las tradiciones matemáticas del siglo XIX. A diferencia de otros matemáticos como Peano o Hausdorff , Hilbert era moderadamente modernista, su mayor habilidad consistió en profundizar y desarrollar las tradiciones existentes. Los problemas de 1900 encajan dentro de esta descripción
Al recibir la invitación a dirigirse al congreso matemático en París, Hilbert era ya uno de los matemáticos más destacados de Alemania, y ampliamente reconocido fuera de su país. Tres años antes, Henri Poincaré (1854-1912), el único matemático contemporáneo cuyos campos de interés y conocimiento se comparaban en amplitud y variedad con los de Hilbert, había escrito la charla central que fue leída en su nombre en el congreso de Zurich. La charla trató de las relaciones entre el análisis puro y la física matemática, y Hilbert pensó inicialmente que la mejor manera de afrontar debidamente el importante honor que se le hizo al invitarlo sería referirse a las ideas de Poincaré y presentar una visión alternativa. Su amigo Minkowski, sin embargo, lo disuadió de tal plan, y a cambio le sugirió una dirección totalmente distinta:
Lo más atractivo, escribía Minkowski desde Zurich, sería que intentes dar un vistazo al futuro, a enumerar los problemas a los cuales deberían dedicarse los matemáticos en adelante. Así podrías crear las circunstancias para que se siga hablando de tu charla en las décadas venideras. Eso sí, debes tener en cuenta que la profecía tiene sus dificultades.
El 8 de Agosto de 1900 en el II Congreso Internacional de Matemáticas de París, Hilbert presentó su famosa conferencia acerca de los 23 problemas abiertos en Matemáticas. De ellos, 8 eran de naturaleza meramente de investigación. De los restantes 15, 12 han sido ya resueltos. Hilbert comenzó su discurso con las siguientes palabras:
"¿Quien de nosotros no quisiera levantar el velo tras el cual yace escondido el futuro, y asomarse, aunque fuera por un instante, a los avances de nuestra ciencia y a los secretos de su desarrollo ulterior en los siglos futuros? ¿Cuáles serán las metas particulares que tratarán de alcanzar los líderes del pensamiento matemático de las generaciones futuras? ¿Qué nuevos métodos y nuevos hechos nos depararán los siglos por venir en el ancho y rico campo del pensamiento matemático?"
. Los 23 problemas planteados por Hilbert fueron:
1)¿Puede probarse las hipótesis del continuo? Esta hipótesis establece que no existe ningún conjunto de cardinalidad mayor del conjunto numerable (números racionales) y estrictamente menor que la del continuo (números reales). La respuesta depende de la versión particular elegida para la teoría de conjuntos. En 1939, Gödell demostró que la negación de la hipótesis del continuo no se puede obtener de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermello-Fraenkel. En 1963 Paul Cohen demostró que no se puede obtener como consecuencia de Zermello-Fraenkel, por tanto la H.C. es independiente de ZF. En definitiva a la pregunta ¿están bien ordenados los números reales?, Cohen contesta que si, si se admite el axioma de elección. Estos trabajos le valieron a Cohen la medalla Field.
2)¿Puede probarse la consistencia de la aritmética?
No, según estableció Gödell en 1931, todo sistema formal capaz de formular su consistencia, puede también probar su inconsistencia: 2º teorema de incompletitud de Gödell.
Un resultado positivo lo dio Goentzen probando la consistencia de la aritmética por inducción transfinita
3)¿Es aplicable el método euclideo de descomposición de poliedros a todos los volúmenes? Lo que se plantea es encontrar dos tetraedros, con bases y alturas iguales, que no puedan descomponerse en tetraedros congruentes ni puedan combinarse con otros poliedros congruentes para formar dos poliedros que puedan dividirse en tetraedros congruentes. La respuesta es NO. Este fue el primer problema de la lista resuelto en 1902 por un alumno de Hilbert, Max Dehen e, independientemente, por W.F.Kagon en 1903.
Un resultado positivo lo da la paradoja de Banach-Tarski: dos poliedros cualesquiera, incluso de volúmenes diferentes, pueden transformarse uno en otro por descomposición en un número finito de partes y desplazando esas partes (las partes no son medibles Lebesque).
4)¿Cuáles son las geometrías en las cuales el camino más corto entre dos puntos es un segmento de recta?. En el fondo lo que se investiga es el concepto de distancia y, en general, se considera resuelto por George Hamel (1877-1954)
5)¿Existen grupos de Lie continuos? Lie estableció un sistema de axiomas para la geometría y demuestra que este sistema es suficiente con la ayuda del concepto de grupo continuo y asumiendo que las funciones que definen su grupo son diferenciables. Lo que se plantea es si la diferenciablidad es inevitable o se puede suprimir.
En 1930 John Von Newman resuelve el problema afirmativamente para los grupos bicompactos, en 1952 Andrws Glean para los grupos localmente compactos y para el caso abeliano. En 1953 Montgomery y Zipin cierran la respuesta afirmativamente. Combinando sus resultados con los de Yamabe tenemos:”todo grupo local euclídeo es un grupo de Lie”
6) ¿Puede axiomatizarse la Física? La matematización de los problemas físicos se volvió rapidamente obsoleta por la evolución divergente de ambas disciplinas (basta observar la mecánica cuántica y la teoria de la relatividad), aunque la investigación de “aquellas ciencias físicas en las que las matemáticas juega un papel importante” tuvo un importante avance con los axiomas de probabilidad de Kolmogorov en 1933.
7)Los números del tipo αβ con α y β algebraicos ,β irracional y α≠0 ¿son irracionales? ¿son trascendentes? Esto supone la irracionalidad o trascendencia de 2√(2), e∏....El problema fue resuelto por Gelfand en 1934 y generalizado por Schneider (1934) y Baker en 1966.
8)Riemann conjeturó que los ceros no triviales de la función zeta ζ se encuentran en línea recta, sobre el eje crítico σ=1/2 .Aún sin resolver aunque Hardy y Weil obtuvieron resultados parciales. Probablemente lo que interesaba a Hilbert fuese la distribución de los números primos. El problema para variedades algebraicas fue demostrado en 1973 por Pierre Deligne con la ayuda de la cohomología l-ádica introdicida con los tabajos de Artin y Grothendieck.
9)Demostrar la ley más general de reciprocidad en cualquier cuerpo algebraico. En 1923 E. Artin conjeturó una ley de reciprocidad general y la demostró en algunos casos particulares. En 1927 resolvió el caso general inspirándose en los trabajos de Takagi. Ese mismo año, Artin también resolvió el problema número 17 de Hilbert convirtiéndose en el primero en resolver dos problemas de Hilbert en su totalidad.
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