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Teorema del día
21 Julio 2025 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Tema del día, #Teorema del Día
Jacob Bernoulli (1654-1705), junto con su hermano Johann (1667-1748), se dedicaron al estudio de las series armónicas, especialmente entre los años 1689 y 1704. Fueron ellos lo que demostraron su divergencia. Animados por estos resultados estudiaron la serie formada por los inversos de los cuadrados:
Jacob demostró que la serie convergía e incluso llegó a probar que la suma debía ser menor o igual que 2, pero no consiguió de ningún modo encontrar el valor exacto de dicha suma. Su empeño fue tal que llegó a expresar que «grande será la gratitud si alguien encuentra y nos comunica lo que hasta ahora ha escapado a nuestros esfuerzos». La cuestión fue conocida como «problema de Basilea», ya que ésta era la ciudad suiza en cuya universidad Johann tenía una cátedra de matemáticas y desde la cual se lanzó la famosa propuesta.
Ante este reto fracasaron matemáticos de la categoría de Mengoli y Leibniz, por no hablar de los denotados esfuerzos conjuntos que llevaron acabo los hermanos Bernoulli. La solución, que llegó treinta años después, la obtuvo Euler, el «mago». El resultado fue realmente espectacular:
Euler escribió al respecto:
«...Sin embargo, he descubierto ahora y contra todo pronóstico una expresión elegante para la suma de la serie 1+1/4+1/9+1/16+..., que depende de la cuadratura del círculo... He encontrado que seis veces la suma de esta serie es igual al cuadrado de la longitud de la circunferencia cuyo diámetro es la unidad.»
Por desgracia, Jacob ya había muerto cuando Euler publicó este resultado. «¡Si viviera mi hermano!», se lamentó Johann.
El calificativo de «mago» atribuido a Euler responde al auténtico juego de magia matemática que supone la demostración. En realidad, no es nada complicada, pero requiere de ciertos conocimientos de matemáticas superiores, además de la audacia de Euler al tratar la serie en cuestión como si fuera una función polinómica, para luego relacionarla con el desarrollo en serie de la función seno; de ahí la aparición del número π, que es uno de los ceros de dicha función.
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Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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