Las trece esferas
¿Se puede encontrar una bola B con otras trece bolas del mismo tamaño de manera que todas toquen a B?
David Gregory, astrónomo en Oxford y amigo de Isaac Newton, anotó en su diario, en 1694, que Newton y él habían estado discutiendo sobre la cuestión. Habían empezado estudiando cómo están distribuidas por el firmamento las estrellas de distintas magnitudes, y de ahí habían pasado a preguntarse si una esfera de radio unitario podría o no estar en contacto con otras 13 iguales a ella. Gregory opinaba que sí; Newton disentía. Como escribe Coxeter, «tuvieron que transcurrir 180 años hasta que R. Hoppe lograra demostrar que Newton tenía razón». Desde entonces han sido publicadas otras demostraciones más sencillas, la más reciente, en 1956, la del matemático británico John Leech.
Newton demostró que era posible con doce bolas y en 1952 Van der Waerden y Schütte demostraron la imposibilidad con trece bolas.