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Teorema del día
1 Marzo 2019 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Tema del día, #Teorema del Día
Problema de Basilea
El nombre del problema proviene de la ciudad natal de Leonhard Euler (1707-1783) y quizás una de las familias de matemáticos más notables de la historia, Los Bernoulli, y consiste básicamente en hallar la suma infinita de los recíprocos de los cuadrados de los números naturales
Con anterioridad al propio Euler, el problema había sido planteado por primera vez en 1644 en la obra “Novae Quadraturae Arithmeticae” de Pietro Mengoli (1625-1686), alumno aventajado de Bonaventura Cavalieri (1598- 1647), prior de la iglesia de Santa María Magdalena de Bolonia y sustituto de su maestro como profesor en la Universidad de Bolonia. La obra anteriormente descrita está formada por tres libros, y en el primero Mengoli demostró la convergencia e incluso calculo la suma de la serie, que desde entonces es conocida como serie de Mengoli. La serie de Mengoli constituye un ejemplo clásico de la serie telescópica.
Planteado el reto por Mengoli, muchos fueron los matemáticos que posteriormente intentarían sin éxito encontrar la solución a dicho problema. Uno de los primeros que lo abordó fue el británico John Wallis (1616-1703), que en su obra “Arithmetica Infinitorum” (1655) aproximó el valor de dicha serie a 1, 645 cometiendo un error menor que una milésima, lo que con la notación moderna supondría tener que evaluar 1.071 términos de dicha serie. Wallis llegó a dicho resultado a través de lo que hoy se denomina producto de Wallis, un producto de infinitos términos.
Por aquellos años, las series se encontraban en su punto más álgido en cuanto a desarrollo y estudio se refiere. Gottfried W. Leibniz (1646-1716) siguiendo indicaciones de su mentor Christiaan Huygens (1629-1695), resolvía el problema de la suma de los recíprocos de los números triangulares.Leibniz conoció el Problema de Basilea en 1673, cuando el por entonces primer secretario de la Royal Society of London, Henry Oldenburg (1616- 1716) se lo propuso en una de sus comunicaciones por carta. Una vez Leibniz se familiarizó con el problema, no era de extrañar que los Bernoulli también lo conocieran (Leibniz era mentor de varios miembros de dicha familia). En 1689, Jakob Bernoulli (1654-1705), hermano del maestro y mentor de Euler, Johann Bernoulli (1667-1748), a pesar de no hallar la anhelada suma, consiguió revelar y publicar dos resultados sobre dicha serie a todas luces fundamentales Previa a la irrupción de la figura de Euler, el problema experimenta varios intentos infructuosos de ser demostrado. Sin embargo comienza una carrera vertiginosa por alzarse con el honor de dar el mayor número de cifras exactas. Ha de considerarse que la convergencia de la serie es bastante lenta, recuerde el lector que se necesitarían 1.071 términos para dar una precisión de tres cifras decimales. En 1721, en una carta de Johann a su hijo Daniel Bernoulli (1700-1782), éste especifica que el resultado de la suma se encuentra en torno al valor 8 5 . En 1729 Christian Goldbach (1690-1764), con el que el propio Euler mantuvo durante toda su vida un intercambio de una muy productiva correspondencia, acotó la solución entre 41 35 y 5 3 , y en 1730 James Stirling (1692-1770) en su libro “Methodus Differentialis”, da la cifra 1, 644934066, correcta hasta la novena cifra decimal. En 1731, irrumpe en el contexto del problema la figura de un jovencísimo Euler. En su artículo “De summatione innumerabilium progressionum”, publicado en 1738, utiliza un método completamente vanguardista para aproximar la serie. El procedimiento utilizado por Euler, aunque poco riguroso (utiliza la integración de la serie término a término, no considera el producto log(1) log(0), etc), solventa de forma eficiente la baja velocidad de convergencia de la serie . Gracias a las potencias cuadráticas del numerador, los términos de la nueva serie que ha obtenido decaen mucho más rápido, y en consecuencia la convergencia de la misma mejora ostensiblemente. Además, Euler conocía el valor de log(2) con una gran cantidad de cifras decimales, consiguiendo de este modo una aproximación de la serie al valor 1, 644934, que es correcta en las seis cifras decimales ´únicamente con la suma de catorce términos de la nueva serie.
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Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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