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Teorema del día
16 Mayo 2012 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Tema del día, #Teorema del Día
PEQUEÑO TEOREMA DE FERMAT
El pequeño teorema de Fermat es uno de los teoremas clásicos de teoría de números relacionado con la divisibilidad. Se formula de la siguiente manera:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a , ap ≡ a (mod p)
Pierre de Fermat, 1636
Aunque son equivalentes, el teorema suele ser presentado de esta otra forma:
Si p es un número primo, entonces, para cada número natural a coprimo con p , ap-1 ≡ 1 (mod p)
Este teorema no tiene nada que ver con el legendario último teorema de Fermat, que fue sólo una conjetura durante 350 años y finalmente fue demostrado por Andrew Wiles en 1995.
La civilización china parece que fue la primera cultura en estar interesada en la aritmética modular. Existe una hipótesis, documentada por Joseph Needham, según la cual los números de la forma 2p − 2 fueron estudiados por esta civilización.
Así pues, matemáticos chinos formularon la hipótesis (a veces conocida como hipótesis china) de que p es primo si y sólo si 2p ≡ 2 (mod p) (donde el símbolo ≡ significa congruencia según el módulo indicado). Es verdad que, si p es primo, entonces 2p ≡ 2 (mod p) (este es un caso especial del pequeño teorema de Fermat), pero el recíproco (si 2p ≡ 2 (mod p), entonces p es primo) no lo es, por lo que la hipótesis es falsa.
Se cree ampliamente que la hipótesis china fue desarrollada 2000 años antes del trabajo de Fermat en el siglo XVII. Aunque la hipótesis sea parcialmente incorrecta, es notable que pueda haber sido conocida por los matemáticos de la antigüedad. Algunos, sin embargo, sostienen que la creencia de que esta hipótesis fuera conocida hace tanto tiempo es fruto de un error de comprensión, y que se desarrolló realmente en 1872. Para más información sobre este asunto, consúltese (Ribenboim, 1995).
Alrededor de 1636, Pierre de Fermat enunció el teorema. Aparece en una de sus cartas a su confidente Frénicle de Bessy, fechada el 18 de octubre de 1640, con el siguiente texto: p divide a ap-1 - 1 cuando p sea primo y a sea coprimo con p.
Aunque actualmente lo conozcamos como pequeño teorema de Fermat, lo cierto es que hasta el siglo XX fue conocido como teorema de Fermat, como recoge por ejemplo Carl Friedrich Gauss en su libro Disquisitiones arithmeticae. El término pequeño teorema de Fermat, tal como lo conocemos actualmente, fue usado por primera vez por el matemático alemán Kurt Hensel en 1913 en su libro Zahlentheorie.
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Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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