/fdata%2F4067159%2Favatar-blog-1187481218-tmpphpXnuMXO.jpeg){kind=avatar}
Teorema del día
6 Junio 2012 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Tema del día, #Teorema del Día
Irracionalidad de √2
Se sabe que el descubrimiento de los números irracionales (inconmensurables) por Hipaso de Metaponto, miembro de la escuela pitagórica, causó una tremenda conmoción en esta comunidad, pues contradecía la máxima pitagórica: “Todo es número”. La historia, posiblemente legendaria, afirma que Hipaso murió ahogado al ser lanzado por la borda, como castigo por haber introducido un elemento de desorden en un universo que los pitagóricos pretendían reducir a los números naturales y sus proporciones. Suele afirmarse que raíz de 2, la diagonal de un cuadrado de lado uno, fue el primer número irracional descubierto por los pitagóricos.
El argumento pitagórico original sobre la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 dependía de una clase de argumento llamado reducción al absurdo: suponemos de entrada la verdad de una afirmación, seguimos sus cconsecuencias y desembocamos en una contradicción, lo que nos permite determinar su falsedad.
Tomemos un ejemplo moderno y consideremos el aforismo del gran físico del siglo veinte, Niels Bohr: “Lo contrario de cualquier gran idea es otra gran idea.”
La demostración comienza suponiendo que raíz de 2 no es irracional y acabará en algo contradictorio. Si no es irracional debe ser obligatoriamente racional, es decir, debe ser igual a una fracción así:
Podemos suponer sin ningún problema que el máximo común divisor de p y q es 1, es decir, que no tienen factores comunes y por tanto son primos relativos. Elevamos al cuadrado y operando queda:
Por tanto p2 debe ser múltiplo de 2, lo que implica que p también es un múltiplo de 2. Es decir, p = 2k para un cierto k. Sustituímos este valor de p en la expresión anteriory simplificamos un 2 de esa igualdad:
Esa expresión nos asegura que q2 es múltiplo de 2, y por tanto también lo es q. Y aquí está el absurdo: habíamos supuesto que p y q no tenían factores comunes (es decir, mcd(p,q) = 1) y hemos llegado a que los dos son múltiplos de 2, es decir, que tienen al 2 como factor común, y por tanto su mcd debe ser al menos 2. Esa es la contradicción que buscábamos.
Una demostración geométrica debe a Barbara Turner (Turner, 1977) y se basa en la siguiente propiedad de los cuadrados naturales: si un cuadrado natural S contiene un cuadrado natural más pequeño cuya área es exactamente la mitad de S, entonces dentro de S existe otro cuadrado natural con la misma propiedad.
Si p2 = 2q2, entonces (2q –p)2= 2(p–q)2
Por tanto repitiendo esta operación podríamos construir una secuencia infinita de cuadrados naturales cada vez más pequeños contenidos dentro de S, lo cual no puede suceder porque un cuadrado natural solo puede contener en su interior un número finito de cuadrados naturales. De todo ello deducimos que no puede existir un cuadrado natural que contenga a otro cuya área sea la mitad, lo que equivale a decir que no es racional.
/https%3A%2F%2Fsites.google.com%2Fsite%2Fencuentrosmatematicosthebook%2F_%2Frsrc%2F1398388430578%2Fsesion-9%2Freciprocidad%20cuadr%C3%A1tica.jpg%3Fheight%3D240%26width%3D320%23width%3D%26height%3D)
/https%3A%2F%2Fassets.over-blog.com%2Ft%2Fcedistic%2Fcamera.png)
/image%2F1377782%2F20180626%2Fob_0a7f59_inversa-cuadrados.png)
/http%3A%2F%2Fcienciaxxi.es%2Fblog%2Fwp-content%2Fuploads%2F2013%2F08%2FCaptura-de-pantalla-2013-08-27-a-las-12.24.02.png%23width%3D%26height%3D)
Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
........................................................................................................................................................................................................
Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
Newsletter
Suscríbete para recibir notificaciones de nuevos artículos.
Páginas
Categorías
- 5090 Matemáticos del día
- 75 Actualidad
- 53 Historia Matemáticas
- 45 Curiosidades
- 29 Tema del día
- 27 Poesía
- 26 Teorema del Día
- 17 Citas
- 15 Entretenimiento
- 8 Paradojas
- 2 matemáticas y magia
