Matemalescopio

5a esencia de las matemáticas reside en su libertad

G.Cantor

 Matemáticos que han nacido o fallecido el día 3 de Marzo

Hoy es el sexagésimo segundo día del año.

62 es el menor número que puede escribirse como suma de tres cuadrados de dos formas diferentes.

62 es el único número en base 10 cuyo cubo,238328, consta de tres dígitos que se repiten dos veces.

62 es deficiente pues es mayor que la suma de sus divisores propios.

62 es odioso pues en su expresión binaria aparece un número impar de unos.

62 es un número libre de cuadrados pues no se repite ningún factor en su descomposición factorial.

62 es un número de Ulam, es un elemento de la sucesión u(n) definida por u(1) = 1, u(2) = 2 y, para n > 2, u(n) es el entero más pequeño que se puede escribir exactamente de una forma como suma de dos términos anteriores diferentes entre sí.

El matemático aleman George Ferdenand Ludwig Philipp Cantor es conocido por se el creador de la teoría de conjuntos. Demostró, en particular, que los números reales son mas numerosos que los naturales utilizando el llamado argumento de la diagonal de Cantor.

David Hilbert afirmó "Nadie nos podrá expulsar del paraíso que Cantor ha creado".  Se atribuye a Cantor la frase " la esencia de las matemáticas es la libertad".

Al final  de su vida sufrió una depresión crónica por la que fue ingresado  numerosas veces en un sanatorio.

Los primeros estudios de Cantor fueron semejantes a los de la mayor parte de los matemáticos eminentes. Su gran talento y su interés absorbente por los estudios matemáticos fueron conocidos precozmente ( antes de cumplir los 15 años ). Su primera educación fue confiada a un preceptor particular, y después siguió un curso en la escuela elemental de San Petersburgo. Cuando la familia se trasladó a Alemania, Cantor asistió a algunas escuelas privadas de Francfort y de Damstandt primero, ingresando luego en el Instituto de Wiesbaden en 1860, cuando tenía 15 años.

Comenzó sus estudios universitarios en Zurich, en 1862, pero pasó a la Universidad de Berlín al siguiente año, después de la muerte de su padre. En Berlín se especializó en Matemáticas, Filosofía y Fisíca.

Dividió su interés entre las dos primeras, y jamás tuvo por la Fisíca una verdadera afición. En matemáticas sus profesores fueron: Kummer, Weierstrass y su futuro enemigo Kronecker. Siguiendo las costumbres alemana, Cantor pasó breve tiempo en otra Universidad, y cursó el semestre de 1866 en Gottingen.

Con Kummer y Kronecker en Berlín, la atmósfera matemática estaba altamente cargada de Aritmética. Cantor hizo un profundo estudio de las "Disquisitiones Arithmeticae" de Gauss, el escribió, en el año de 1867, su disertación, aceptada para espirar al título de doctor sobre un punto difícil que Gauss había dejado a un lado respecto a la solución en números enteros x, y, z de la ecuación determinada:

ax² + by² + cz² = 0

donde a, b, c, son números enteros. Era un excelente trabajo, pero puede afirmarse que ningún matemático que lo leyera podría vaticinar que el autor, de 22 años llegaría a ser uno de los más originales creadores de la historia, de la matemática. No hay duda de que el talento se refleja en este primer ensayo pero no se ve el genio. No hay un solo indicio de gran creador en esta disertación, rigurosamente clásica. Lo mismo puede decirse de todas las obras publicadas por Cantor antes de los 29 años. Eran excelentes, pero podrían haber sido hechas por cualquier hombre brillante que hubiera comprendido totalmente, como Cantor lo hizo, el concepto de las demostraciones rigurosas de Gauss y Weierstrass.

A los 27 años dio clases en la Universidad de Halle a partir de 1872 fue catedrático. Sus primeros trabajos con las series de Fourier lo condujeron al desarrollo de una teoría de los números irracionales.

El año 1874, apareció el primer trabajo revolucionario de Cantor sobre la teoría de conjuntos. El estudio de los infinitos por parte de Cantor fue considerado por Kronecker con una locura matemática. Creyendo que la matemática sería llevada al manicomio bajo la dirección de Cantor, Kronecker lo atacó vigorosamente con toda las armas que tuvo en su mano, con el trágico resultado de que no fue la teoría de conjuntos la que cayó en el manicomio, sino el propio Cantor.

Cantor murió en Halle (ciudad del centro de Alemania), el 6 de enero de 1918, teniendo 73 años de edad. Ya le habían sido concedidos múltiples honores y su obra había logrado ser reconocida.

 El matemático austriaco Emile Artin es uno de los fundadores de la teoría de Trenzas, una rama de la teoría de Nudos.

 La niñez de Artin no fue particularmente feliz, ya que siempre lo embargaba, como él lo mencionó más de una vez, una profunda soledad. De niño, no se encontraba atraído por las matemáticas, como generalmente no ocurre con la mayor parte de los matemáticos, y hasta la edad de dieciséis años, no le prestó más atención que la que le otorgaban el resto de sus compañeros de escuela. Más aún, hasta esa edad no mostró ningún talento en particular para esa disciplina; al menos esa era su propia opinión que el mismo exponía sobre su época de escolar. En ese período de escolaridad, Artin mostraba un mayor talento y atracción por la química. Pero el cambio se produce cuando cursa sus dos últimos años de escuela en Francia, los que considera como los días más felices de su escolaridad. Esos años corresponden al período de su vida en que se despierta en él su atracción por las matemáticas.

Durante el periodo 1921-1931, desarrolló una productividad investigativa difícil de igualar en la vida de un matemático. Durante estos diez años, sus aportes al desarrollo de las matemáticas son más que significativos. Su contribución a las teorías de cuerpos y anillos fue decisiva. Alrededor de 1928, consideró los anillos que satisfacen la condición de mínimo en ideales derecha, hoy llamados "anillos artinianos" en su honor.

En 1927, Artin halla la solución para uno de los 23 famosos problemas que presentó, en 1900, David Hilbert. También en ese mimo año de 1927, desarrolló una ley general de reciprocidad que incluyó todos los leyes de la reciprocidad conocidas previamente y que habían sido descubiertas a partir de la primera que formuló Carl Gauss.

La teoría de cuerpos que había sido creada por Ernst Steinitz en 1910. Tuvo un rápido desarrollo en la siguiente década, posteriormente Artin contribuyó enormemente a su desarrollo. En el año 1924, demostró que dado un cuerpo algebraicamente cerrado E, que contiene a los racionales, existe un subcuerpo suyo K, tal que E/K es una extensión algebraica finita. En 1926, Artin extendió el resultado para cuerpos algebraicamente cerrados de caracteristica cero. Artin probó, con argumentos inteligentísimos extraídos de la teoría de Galois y del teorema de Cauchy, que E es una extensión de K de grado 2 y que el subcuerpo K verifica que –1 no se puede expresar como una suma de cuadrados. Este descubrimiento fue publicado, en el año 1926, en parte de un importante artículo referido a un trabajo que Artin realizó junto con Otto Schreier.

Antes de referirnos al tema central de esa publicación de 1926, es importante mencionar que Artin y Schreier llegaron a la conclusión que el problema que anteriormente hemos descrito puede también ser manejado en los casos de cuerpos de característica prima. En un trabajo que ambos matemáticos publicaron en 1927, introdujeron lo que hoy se conoce como extensiones cíclicas de grado p de Artin-Schreier. En efecto, probaron que para el caso de característica prima, el cuerpo E no puede ser una extensión finita de un subcuerpo K.

Artin y Schreier, definieron y estudiaron totalmente lo que se conoce hoy como cuerpos reales, o sea, aquellos en los que –1 no puede expresarse como suma de cuadrados. También, definieron y estudiaron los cuerpos reales cerrados. El mismo Artin probó que cuando E es el cuerpo de todos los números algebraicos, el subcuerpo K de los números algebraicos reales soluciona el problema y, en cierto sentido, es la solución única. Artin y Schreier en 1926, describieron además un orden natural en el cuerpo K. Una vez logrado esto, Artin pudo presentar completas soluciones matemáticas a distintos problemas, como es el caso del famoso problema veintitrés de Hilbert. Artin lo resolvió en 1927, en el artículo Uber die Zerlegung definiter Funcktionen in Quadrate. La teoría para cuerpos reales cerrados influenciaron en particular a Abraham Robinson en sus conocidas investigaciones.

Otro de los aportes importantes del trabajo realizado por Artin, durante su primer período en la Universidad de Hamburgo, fue el desarrollo de la teoría de trenzas que él presentó en 1925. En ello, demostró, una vez más, su originalidad al introducir un nuevo campo de investigación que en la actualidad está siendo estudiado con detención y profusamente por un número cada vez mayor de físicos-matemáticos que trabajan en la formulación de la gravedad cuántica (teorías de grupo y semigrupo, y topología).

Emil Artin formuló algunas importantes conjeturas, que han desempeñado un papel relevante en el desarrollo de las matemáticas. Dos de ellas, son los que han concitado el mayor interés. La primera, es el análogo de la conjetura de Riemann para la función zeta de una curva sobre cuerpos finitos. En su tesis doctoral, Artin lo confirmó numéricamente para varios casos. En 1933, Hasse tuvo éxito en ratificar la afirmación para las curvas elípticas y, en 1942, lo consiguió Weil para curvas arbitrarias, lo que posteriormente, fue generalizado por Deligne. Así fue, como ese tipo de afirmaciones de Artin dio origen a una amplia gama de actividades conocidas en la actualidad como geometría de números o aritmética.

En segundo lugar, está la conjetura de Artin sobre raíces primitivas. Dado cualquier número entero g, distinto de 1 y -1 y que no sea una potencia de otro entero, entonces hay una cantidad infinita de números primos p, tal que g es una raíz primitiva módulo p. Más precisamente, el conjunto de esos números primos tiene densidad positiva que se puede describir y calcular de manera explícita. Esta conjetura de Artin, es uno de sus legados, que ha originado interesantes trabajos en teoría de números.

Artin se casó en 1929, con una de sus alumnas, Natalie Jasny, quién profesaba la religión judía. Esa condición religiosa de su esposa, le obligó en 1937, a abandonar Alemania cuando el régimen Nazi dictó la ley del 'Nuevo Funcionario Público'. Emigró a los EE.UU., donde recorrió varias universidades. Primero llegó a la Universidad de Notre Dame, posteriormente a la Universidad del Estado de Indina y, finalmente, a la Universidad de Princenton.

En 1958, Artin regresa a Alemania y se reintegra a su cátedra en la Universidad de Hamburgo, lugar de donde había salido veinte años atrás, dado las infelices circunstancias que se vivieron en esa época de la Alemania Nazi. Entre sus principales obras se encuentran La Geometría Algebraica (1957) y La teoría de Clases de Cuerpos (1961).

La Sociedad Americana de Matemáticas le otorgó el premio Cole por su trabajo en teoría de números. Artin fue un excepcional docente en el nivel de pre-grado así como un extraordinario profesor guía de muchos estudiantes de distintos niveles de post-grado. Pero no sólo las matemáticas le interesaban a Artin, también fue un estudioso de la química, la astronomía y de la biología. Además, la música fue otra de sus pasiones ya que tocaba varios instrumentos.

Schreier

El matemático austriaco Otto Schreier leyó su tesis doctoral, titulada Über die Erweiterung von Gruppen (Sobre extensiones de grupos),  bajo la dirección de Furtwängler el 8 de noviembre de 1923. Cosiguió su habilitación con otra tesis, titulada Die Untergruppen der freien Gruppe (Subgrupos de grupos libres).Por desgracia, en las navidades de 1928, cayó enfermo y no pudo continuar sus clases. Murió cinco meses mas tarde con 28 años de una septicemia. La ironia fue que unos pocos años después se descubrió un medicamento que podía haberlo salvado. Muchos piensan que podría haber cambiado la historia de la teoría combinatoria o computacional de grupos.

Schreier estuvo muy influenciado por Furtwängler y Reidemeister. En su pirmer artículo de 1924 dió una demostración algebráica simple de un teorema sobre grupos de nudos, que generalizaba un teorema de Dehn de hacía 10 años. Fue directamente al teorema principal, que probaba que ciertos nudos de toros no eran isomorfos a sus imágenes especulares. Estos nudos hacían surgir ciertos grupos que eran productos libres con un subgrupo amalgamado. Schreier estudió esta propiedad en detalle en un trabajo de 1927.

Schreier es, sobre todo, recordado por su trabajo (de segunda tesis) sobre subgrupos de grupos libres. Publicó los resultados en 1927, en el célebre artículo Die Untergruppen der freien Gruppe 

Schreier hizo importantes contribuciones a otras partes de la teoría degrupos. Como los grupos clásicos de Lie que pueden considerarse como espacios topológicos. Schreier en 1927, mostró que el grupo fundamental de tales espacios es siempre abeliano. Schreier en 1928, encontró un refinamiento importante del teorema de Jordan-Hölder, 39 años después de la publicación del trabajo de Hölder 

El matemático de origen húngaro Paul Richard Halmos a los trece años llegó a Estados Unidos y a los quince terminó su bachillerato. Muy joven entró a la Universidad de Illinois donde obtuvo su doctorado en matemáticas en 1938 con la dirección de John L. Doob. fue asistente de von Neumann, de quien heredó la inclinación por la teoría de operadores y  sus aplicaciones.

En Universidad de Chicago fue donde Paul R. Halmos llega a aquilatarse como el gran maestro de las matemáticas que fue. Su análisis crítico a la docencia de ese tiempo, la compenetración con sus estudiantes y el sentido de responsabilidad con su cátedra harían de su docencia lo que probablemente no tenían los matemáticos de primer orden.

No hay duda de que el mayor legado que un profesor deja, es la herencia intelectual trasmitida a través de sus estudiantes. Desde esta perspectiva, el profesor Halmos, pudo haber muerto lleno de grandes satisfacciones, pues sus discípulos, en su inmensa mayoría, llegarían a ser matemáticos de primera línea. El mejor de todos, sería Errett Bishop, el creador, según Halmos, de esa  religión conocida como matemáticas constructivas. Bishop, en la dedicatoria a Halmos de su obra Foundations of Constructive Analysis, le escribió: “Para Paul, con la esperanza de que  mis ideas no le parezcan demasiado descabelladas. Errett”. 

 Entre sus reconocimientos mencionemos, el Steele Prize de la AMS en 1983 por sus contribuciones y por su labor  d ivulgativa del conocimiento matemático.  Sus artículos  sobre,cómo escribir, hablar y publicar en matemáticas fueron exaltados con este premio.La MAA le otorgó la  Distinguished Teacher Award por sus méritos como maestro y el George Polya Award por su calidad como escritor.  Entre 1981-1985 fue el editor de The  American Mathematical Monthly

Hooke

El científico inglés Robert Hooke polemizó con Isaac Newton acerca de la autoría de su trabajo sobre la gravedad, una disputa que empañó durante más de 200 años lo que se escribía de la historia de Hooke, según las crónicas luchó por granjearse un mayor crédito que los que Newton ofreció en los principios rectores más tarde datallados en los Principia de Newton.

Es el creador de la Ley de Hooke, publicada en 1678, según la cual “la fuerza que devuelve un resorte a su posición es proporcional al valor de la distancia que se desplaza de esa posición”, introdujo la palabra cell (célula) a la lengua inglesa.

Después de observar finas láminas de corcho, se percató de que este se dividía en pequeñas celdas que, unidas, formaban un todo.

Luego de descubrir lo que hoy denominamos “unidad anatómica fundamental de los seres vivos”, Robert Hooke, ese mismo año, dio a conocer el libro Micrographia, donde plasmó dibujos y anotaciones de insectos y objetos que observó a través de su microscopio compuesto, el cual utilizaba dos sistemas de lentes, los oculares y los objetivos.

Además de mantener una rivalidad con Isaac Newton por la paternidad de la Ley Gravitacional, formuló la teoría del movimiento planetario, supervisó la reconstrucción de Londres después del Gran Incendio de 1666 y contribuyó al avance de la medicina, cronometría, física planetaria, náutica y arquitectura.

Aplicó sus estudios a la construcción de componentes de relojes.

Además colaboró con Robert Boyle en la construcción de la bomba de aire en 1655.

Por medio de los telescopios de su creación, Hooke descubrió la primera estrella binaria y realizó la primera descripción del planeta Urano

El matemático inglés William Kingdon Clifford contribuyó al desarrollo y uso  de los productos escalares y vectoriales en matemáticas y física. Estudió en el King’s College de Londres. Graduado como segundo “wrangler” por el Trinity College, siendo  elegido  “fellow”  (1868).  Gimnasta  consumado;  ganó  premios  de  declamación;  escribió una  colección de cuentos para niños (Gente pequeña). Profesor de matemáticas y mecánica del University College de  Londres  (1871).  Publicó  una  cadena  de  teoremas  sobre  circunferencias.  Fue  uno  de  los  iniciadores de la geometría algebraica. Creó las llamadas “álgebras de Clifford”, de las que son casos particulares  las  de  los octonianos  o  de  los  bicuaternios  (éstos  satisfacen  la  ley  del  producto  de  la  multiplicación,  pero  la multiplicación  no  es  asociativa)

Apoyándose en los resultados de Riemann, sus trabajos sobre las geometrías no euclideas, las superficies y la curvatura del espacio serán un precedente de la teoría de la relatividad desarrollada posteriormente por Einstein

El genetista estadounidense Sewall Green Wright es onocido por su influyente trabajo en teoría evolutiva. Sus artículos sobre endogamia, sistemas de apareamiento y deriva genética lo convirtieron en uno de los principales fundadores de la genética poblacional, junto con Ronald Fisher y J.B.S. Haldane.

Wright fue el creador del coeficiente de endogamia, una herramienta estándar en la genética de poblaciones. Fue el principal artífice de la teoría matemática de la deriva genética, los cambios estocásticos acumulativos en las frecuencias génicas que surgen del número aleatorio de nacimientos y muertes y de las segregaciones mendelianas en la reproducción.

Para Wright, los procesos adaptativos son resultado de la interacción entre la deriva genética y las otras fuerzas evolutivas. Para ilustrarlo, describió la relación entre genotipo o fenotipo y aptitud biológica en términos de superficies o paisajes adaptativos: en el eje vertical se sitúa la trama de picos adaptativos, mientras en el eje horizontal se representan las frecuencias de los alelos o el promedio de fenotipos de la población. La selección natural conduciría a la población a escalar el pico más cercano, mientras que la deriva genética causaría un deambular aleatorio por el paisaje.

Según Wright, los organismos procuran ocupar óptimos locales o picos adaptativos. Para evolucionar a otro pico más alto, las especies tendrán primero que pasar por un valle de estadios intermedios menos adaptativos. Esto puede suceder por deriva genética si la población es suficientemente pequeña. Si una especie estuviera dividida en pequeñas poblaciones, algunas podrían encontrar picos más altos. Si hubiera algún flujo de genes entre las poblaciones, estas adaptaciones podrían expandirse al resto de las especies

Penney

El matemático y físico  inglés William George Penney, nacido en Gibraltar, ayudó al desarrollo de la bomba atómica estadounidense y británica

Realizó investigaciones sobre la estructura molecular. Formuló el llamado modelo de Kronig-Penney, el cual describe, mediante un modelo idealizado, los estados energéticos de un electrón libre en una estructura cristalina.

Pogorelov

El matemático soviético Aleksei Vasilevich Pogorelov nació en Korocha (hoy, Óblast de Belgorod, Rusia). Trabajó en la Universidad de Jarkov y en su Instituto de física de bajas temperaturas e ingeniería. Investigó en la teoría de superficies que incluye la teoría clásica, la de poliedros y la de superficies  convexas  y  no  convexas.  Demostró  en  1949  que ninguna  superficie  convexa  cerrada  se  puede deformar como un todo conservando su convexidad.