Overblog
Seguir este blog Administration + Create my blog

Presentación

  • : Matemalescopio
  • : Divulgación matemática, obsevatorio matemático, actualidad matemática, historia de las matemáticas. Las matemáticas son una ciencia en movimiento, queremos ayudar a seguirlas
  • Contacto

Perfil

  • Antonio Rosales Góngora.
  • Matemáticas,Bahía de Almería
  • Matemáticas,Bahía de Almería

Al que le gustan las matemáticas las estudia

El que las comprende las aplica

El que las sabe las enseña

Y... ese

al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...

Ese dice como hay que aprenderlas,

como hay que aplicarlas

y como hay que enseñarlas. 

Traductor

 

Ideario

Así es, pues, la matemática; te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia que nos corresponde por el nacimiento (Proclo).”

 

Juro por Apolo délico y por Apolo pitio

Por Urania y todas las musas,

por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos,

y por todos los dioses y las diosas,

que nunca abandonaré las matemáticas

ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. 

Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable;

y que si lo cumplo, me sean favorables.

9 septiembre 2013 1 09 /09 /septiembre /2013 06:26

Sabemos por las notas y la correspondencia, publicadas póstumamente, de Carl Friedrich Gauss que éste precedió a János Bolyai y a Nikolái Ivánovich Lobachevsky en el desarrollo de la geometría hiperbólica allá por la década de los veinte del siglo XIX y que llegó al convencimiento de que era lógicamente factible que el propio espacio físico fuese hiperbólico, o no euclídeo. 

El descubrimiento de las geometrías no euclidianas, parafraseando a Hilary Putnam, es el descubrimiento más importante en la historia de la ciencia para alguien interesado en el estudio de nuestra capacidad de conocer el universo. Efectivamente, privó a los racionalistas de la existencia del conocimiento sintético a priori y dio a los empiricistas una estupenda pista de cómo el conocimiento matemático podría encontrar acomodo en el empiricismo. Veámoslo someramente. 

A principios del siglo XIX todo el mundo daba por sentado que la geometría (euclídea) era un conocimiento a priori y una descripción verdadera de la estructura del espacio. Curiosamente quien más heterodoxo se había mostrado con esta idea, aunque en su tiempo no se expresase de esa manera, fue Leibniz, habitualmente etiquetado como racionalista, que, a diferencia de Newton, no consideraba el espacio como un absoluto dado, sino como las relaciones entre los objetos. A diferencia de las verdades a posteriori, las verdades de la geometría euclidiana parecían prácticamente irrefutables, lo que ponía la posición de los empiricistas en serias dificultades. 

De igual forma que hizo falta un Einstein para encontrar una forma de comprobar experimentalmente la existencia de los átomos más allá de toda duda razonable en la forma de sus ecuaciones para el movimiento browniano, fue necesario un Gauss para encontrar que si se combinaban las afirmaciones de Euclides con los conocimientos de óptica, se obtenía una conclusión comprobable experimentalmente sobre la geometría del espacio real. Algo así: 

Euclides: Los ángulos de cualquier triángulo suman 180º

Óptica geométrica: La luz viaja en líneas rectas

Conclusión: Los ángulos de cualquier “triángulo de luz” (un triángulo cuyos lados sean rayos de luz) suman 180º 

Hasta Gauss (o, para el público en general, hasta Bolyai y Lobachevsky) si las mediciones de un triángulo de luz hubiesen contradicho esta conclusión, automáticamente se hubiese achacado a un defecto en la medida, por mucha precisión que ésta pudiese haber tenido, ya que lo contrario nos habría dejado sin una geometría alternativa. La invención [no descubrimiento, que eso es de platónicos] de las geometrías no euclídeas cambió esta situación. 

Gauss inventó el heliotropo en 1821. En The Gentleman’s Magazine en 1822 apareció la narración de cómo Gauss había usado su instrumento para medir los ángulos de triángulos de luz para usos puramente geodésicos. Se cuenta que su intención última era medir la geometría real del espacio, asumiendo implícitamente, tendríamos que añadir hoy, que espacio y tiempo existen a priori y son independientes entre sí. Para ello midió los ángulos de un triángulo de luz cuyos vértices correspondían con tres antorchas en las cimas de tres colinas cercanas a Gotinga (Inselsberg, Brocken y Hoher Hagen). Su idea era determinar si la geometría era euclídea o hiperbólica. 

Si lo anterior fue exactamente como lo contamos, eso significaría que Gauss fue el primero en darse cuenta de que una vez que se dispone de geometrías alternativas que dan resultados diferentes a la suma de los ángulos de un triángulo de luz, ya depende del experimento determinar qué es “verdad”. Es decir, el conocimiento de la geometría euclidiana deja de ser automáticamente un conocimiento cierto a priori (de hecho nunca lo supimos: la ilusión de que sí nos la dio la pobreza de las matemáticas existentes hasta ese momento). Existe pues una forma de refutar a Euclides: si Gauss hubiese encontrado que la suma era menor que 180º, habría podido afirmar tras las comprobaciones pertinentes que la geometría de Euclides no aplicaba al mundo real, que era hiperbólico (ni que decir tiene que si hubiese medido más de 180º se habría encontrado con un problema, ya que la geometría de Riemann aún no había sido inventada). 

La cuestión es que Gauss midió 180º. ¿Probaba esto que la geometría del espacio era euclidiana? En absoluto. Tal y como apuntamos en Provisional y perfectible e ilustramos con Desviación de la luz y falsabilidad, ya no era posible: podía ocurrir perfectamente que los ángulos del próximo triángulo que midiese no sumase 180º. ¿Refutaba entonces el resultado las geometrías no euclidianas? Tampoco. Cada medida realizada tiene un margen de error, por lo que lo máximo que Gauss podía decir era que el triángulo medido poseía unos ángulos cuya suma era 180º más/menos el margen de error. Como la diferencia con los 180º será mayor cuanto mayor sea el triángulo en el caso de las geometrías no euclidianas, siempre se podrá afirmar que como el coeficiente de curvatura del espacio no se conoce, tampoco sabemos lo grande que tiene que ser el triángulo para que las desviaciones de la geometría euclidiana sean apreciables. El conocimiento hasta ese momento cierto, el único sintético a priori, se había convertido en un vulgar a posteriori. 

Hoy día, a efectos prácticos en la vida ordinaria y en muchísimas parcelas de la ciencia nos comportamos como si la estructura del espacio fuese euclídea. Pero no nos confundamos, Kant se equivocó al afirmar que debemos (por lógica) estructurar nuestra percepción en principios euclídeos; tuvo razón al decir que siempre lo haremos. Henri Poincaré dijo, à la Kant, que siempre impondremos una estructura euclidiana a nuestra ciencia por simplicidad: al negarnos a tomar en serio una ciencia complicada que no incorpora la geometría euclidiana, hacemos que esta geometría sea verdadera a priori, no porque lo sea, sino por convención.

autor: César Tomé López  divulgador científico y editor de Mapping Ignorance

Compartir este post
Repost0

Artículos Recientes

  • Matemáticos del Día
    La historia del mundo es la suma de aquello que hubiera sido evitable B.Russell Matemáticos que han nacido o fallecido el día 2 de Febrero Matemáticos nacidos este día: 1522 : Ferrari 1765 : Osipovsky 1786 : Binet 1793 : Hopkins 1842 : Sokhotsky 1849...
  • Matemáticos del Día
    Si me siento infeliz, hago matemáticas para ser feliz. Si me siento feliz, hago matemáticas para seguir siendo feliz A.Renyi Matemáticos que han nacido o fallecido el día 1 de Febrero Matemáticos nacidos este día: 1840 : Whitworth 1888 : Hermann Kober...
  • Matemáticos del Día
    Ningún tema pierde tanto cuando se le divorcia de su historia como las matemáticas E.T.Bell Matemáticos que han nacido o fallecido el día 31 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1715 : Giovanni Fagnano 1841 : Loyd 1886 : Watson 1896 : Janovskaja 1914...
  • Matemáticos del Día
    El ojo del matemático es un espejo místico, que no sólo refleja sino que también la absorbe . F.Googol Matemáticos que han nacido o fallecido el día 30 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1619 : Ricci 1755 : Fuss 1805 : Sang 1865 : Landsberg 1870:...
  • Matemáticos del Día
    Pensar es moverse en el infinito. H.D.Lacordaire Matemáticos que han nacido o fallecido el día 29 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1688 : Swedenborg 1761 : Mendoza y Ríos 1774: Olinthus Gregory 1810 : Kummer 1817 : Ferrel 1888 : Chapman 1928 : Joseph...
  • Matemáticos del Día
    No hay ciencia que hable de las armonías de la naturaleza con más claridad que las Matemáticas. P.Carus Matemáticos que han nacido o fallecido el día 28 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1540 : van Ceulen 1608 : Borelli 1611 : Johannes Hevelius 1622...
  • Matemáticos del Día
    Los descubrimientos matemáticos, como las violetas en primavera en el bosque, tienen su temporada que ningún ser humano puede acelerar o retardar. J.Bolyai Matemáticos que han nacido o fallecido el día 27 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1772 :...
  • Matemáticos del Día
    Con las teorías matemáticas ocurre como con el resto de las cosas: la belleza puede ser percibida, pero no explicada. A.Cayley Matemáticos que han nacido o fallecido el día 26 de Enero Matemáticos nacidos este día: 1799 : Clapeyron 1862 : Eliakim Moore...