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Teorema del día
17 Mayo 2012 , Escrito por Antonio Rosales Góngora. Etiquetado en #Tema del día, #Teorema del Día
Teorema de Euclides
Esta demostración, atribuida al filósofo y matemático griego Euclides (325 a.C.-265 a.C.) utiliza el principio de reducción al absurdo
Imaginemos una lista que contiene (todos) los primos: P1, P2, P3, ... Pn. Entonces se puede generar otro número Q (mucho mayor) tal que:
Q=(P1 x P2 x P3 x ... x Pn) + 1
Este nuevo número Q puede ser primo o no. Si es primo, ya tenemos un nuevo primo que no pertenece a la lista original, y por tanto esa lista no era completa. En el caso de que Q no sea primo, forzosamente tendrá que ser divisible por algún número primo que no puede ser uno de los de la lista, ya que al dividir Q por cualquiera de los primos de la lista siempre obtendremos 1 como resto. Por lo tanto, tiene que existir otro primo Pn+1
En cualquiera de los dos casos hemos encontrado un número primo que NO estaba en la lista original.
La consecuencia de todo esto es que no podemos tener un conjunto finito de primos que enbloge a todos ellos, y de esto se deduce la infinitud del conjunto de los números primos.
El matemático prusiano Christian Goldbach (1690 - 1774), en una carta a Euler fechada en Julio de 1730, da una demmostración basada en los números de Fermat.
Otra variante de esta demostración se debe a Filip Saidak (2005). El razonamiento es como sigue, dados dos números consecutivos n y n + 1 al ser primos entre si el número N2 = n(n+1) tiene al menos dos factores primos diferentes. Como n(n+1) y n(n+1)+1 son consecutivos también son primos entre si, por ello el número N3 = (n(n + 1))(n(n + 1) + 1) tiene al menos tres factores primos diferentes. El razonamiento puede continuarse de forma indefinida.
La demostración más original sobre la infinitud de números primos es la proporcionada por el matemático israelí Furstenberg (1935-), premio Wolf en Matemáticas en su edición 2006/7, la demostración es topológica
Al que le gustan las matemáticas las estudia
El que las comprende las aplica
El que las sabe las enseña
Y... ese
al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...
Ese dice como hay que aprenderlas,
como hay que aplicarlas
y como hay que enseñarlas
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Juro por Apolo délico y por Apolo pitio, por Urania y todas las musas, por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos, y por todos los dioses y las diosas, que nunca abandonaré las matemáticas ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable; y que, si lo cumplo, me sean favorables.
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