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PROBLEMAS MATEMÁTICOS CON HISTORIA (XXVI)
PROBLEMAS DE HILBERT (CONTINUACIÓN)
10)¿Existe un algoritmo general para la resolución de ecuaciones diofánticas?
En 1970 Yuri Matiyasevich estableció la respuesta negativa basándose en los trabajos de Julio Robinson y Martin Davis. La respuesta es que no todas las ecuaciones diofánticas son solubles algoritmicamente.
11)Clasificar las formas cuadráticas sobre cuerpos numéricos algebraicos
Parece ser que Hilbert deseaba extender el trabajo de Minkowski sobre formas cuadráticas con coeficientes racionales a cualquier cuerpo algebraico. Lo logró Helmut Hasse en 1923.
12)¿Se puede extender el teorema de Kronecker sobre cuerpos abelianos a cualquier dominio de racionalidad algebraica? O equivalentemente, ¿Se pueden construir funciones holomórficas de varias variables que tengan propiedades análogas a las funciones exponenciales y a las funciones elipticas modulares?.
El problemas esta parcialmente resuelto por los trabajos de Takagi y Hasse, y los más recientes de Halzapfel (1995)
13)Mostrar la imposibilidad de la resolución de ecuaciones de séptimo grado por descomposición de funciones continuas de dos variables.
Más generalmente, se trata de estudiar funciones continuas de tres variables que no puedan expresarse por composición a partir de funciones continuas de dos variables. En 1954, Kolmogorov y Arnold demostraron que esta clase estaba vacía: existen n(2n+1) funciones continuas universales
En contrapartida, la cuestión de la resolubilidad de ecuaciones de séptimo grado por funciones analíticas de dos variables aún está abierta.
14)Estudio de la existencia de un sistema finito de generadores de un álgebra de funciones racionales sobre un cuerpo abstracto
Si se considera un cuerpo k y un subcuerpo K de E=(X1,X2,..,Xn) y hacemos R=k[X1,..,Xn] entonces el anillo RUK ¿es una k-álgebra de tipo finito?
La respuesta es negativa como mostró Zariski dando una interpretación geométrica: existe una variedad proyectiva X de cuerpo de funciones K y un divisor efectivo D sobre X tal que KUR sea el conjunto de funciones de k que no tienen polos sobre R. M. Nagata en 1959 resolvió negativamente el problema.
15) Establecer el fundamento de la geometría algebraica, ¿se puede fundamentar, en sentido formal, la geometría enumerativa de Schubert?.
La respuesta afirmativa la dio Bell en 1945.
16)Problema de la topología de curvas y superficies algebraicas.
El problema comporta dos partes: la primera concierne al número de ramas reales de una curva algebraica. La segunda plantea la cuestión de la existencia de un número maximal de ciclos límite para una ecuación diferencial lineal definida por polinomios homogéneos de grado n (aún abierta)
El problema esta parcialmente resuelto con los trabajos de Gudkov y Utkin de 1978 y los de Ilyashenko y Yokovenko en 1995.
La conjetura de Shimura-Taniyama, propuesta en 1995, postula simplemente esta ligazón, afirma que toda curva elíptica es una forma modular enmascarada. Los trabajos de Wiles para obtener el Último Teorema de Fermat la demostraron parcialmente y, posteriormente, Taylor y otros la demostraron totalmente.
17)Determinar las funciones racionales con coeficientes reales que no toman más que valores positivos y son suma de cuadrados de funciones racionales, ¿ una función racional positiva sobre Rn puede escribirse como suma de cuadrados de funciones racionales?.
La respuesta afirmativa fue dada por Artin en 1927.
Artin da una demostración existencial: dada una forma definida, demuestra que existe alguna suma de cuadrados de funciones racionales que la expresa pero no dice como construir esa suma. En 1957 George Kreisel dio un método utilizando el análisis no estandar de Robinson, del método dijo Artin: “prefiero una prueba clara de existencia a una construcción con 22^100pasos”.
18)Construir el espacio con poliedros congruentes.
El problema consta de tres partes: a) Determinar si es finito el número de grupos cristalográficos en los espacios euclídeos de grandes dimensiones, fue resuelto por Bieberbach en 1910. b) ¿se puede llenar el espacio con regiones fundamentales idénticas que no estén asociadas a un grupo cristalográfico?, fue resuelto afirmativamente por K.Reinhart en 1928 presentando un ejemplo en tres dimensiones c) Determinar la manera más eficiente de rellenar el espacio con varios sólidos regulares, la respuesta la dio Thomas Hale en el año 2000.
19)Las soluciones de problemas regulares en el cálculo de variaciones ¿son necesariamente analíticas?. Existen distintas variaciones del problema dependiento del número de ecuaciones o de variables involucradas. La solución fue iniciada por Berstein en 1904, le siguen Liechtenstein (1912), Hopf (1929), Leray-Schauder (1934), Petrovsky (1939), Caccioppoli (1934 y más tarde 1950-51),Morrey (1958), De Giorgi y Nash (1958).
20)¿Tiene solución cualquier problema regular del cálculo de variaciones?, la solución parcial fue iniciada por Berstein
21)Partiendo de los trabajos de Riemann, Hilbert plantea “demostrar que siempre existe un sistema de ecuaciones diferenciales de la clase de Fuchs, con un conjunto de puntos singulares y grupo monodrómico preestablecido.”
En 1908 el esloveno Josip Pleelj dio una respuesta alternativa a la dada por el propio Hilbert que le valió el reconocimiento general. En 1989 el ruso Andrei Bolibruch encontró un contraejemplo, por tanto la respuesta dada por Pleelj no solo era incompleta, era falsa.
22)Uniformización de Relaciones Analíticas mediante funciones automórficas.
Fue resuelto por Poincare en 1907 utilizando un espacio de cubrimiento universal, toda relación analítica entre dos puntos de la esfera de Riemann resulta de la eliminación de la variable compleja entre dos funciones meromorfas definidas bien sobre el plano complejo, bien sobre el semiplano o bien sobre la esfera de Riemann. El problema también fue resuelto por Paul Koebe en el mismo año.
23) Extender el desarrollo de los métodos del cálculo de variaciones ¿existe un procedimiento automático que resuelva todos los problemas matemáticos uno tras otro? Se ha trabajado en ello y dadas respuestas parciales como la maquina de Turing o la teoría de decisiones.
