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Presentación

  • : Matemalescopio
  • : Divulgación matemática, obsevatorio matemático, actualidad matemática, historia de las matemáticas. Las matemáticas son una ciencia en movimiento, queremos ayudar a seguirlas
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Perfil

  • Antonio Rosales Góngora.
  • Matemáticas,Bahía de Almería
  • Matemáticas,Bahía de Almería

Al que le gustan las matemáticas las estudia

El que las comprende las aplica

El que las sabe las enseña

Y... ese

al que ni le gustan, ni las comprende, ni las sabe...

Ese dice como hay que aprenderlas,

como hay que aplicarlas

y como hay que enseñarlas. 

Traductor

 

Ideario

Así es, pues, la matemática; te recuerda la forma invisible del alma; da vida a sus propios descubrimientos; despierta la mente y purifica el intelecto; arroja luz sobre nuestras ideas intrínsecas y anula el olvido y la ignorancia que nos corresponde por el nacimiento (Proclo).”

 

Juro por Apolo délico y por Apolo pitio

Por Urania y todas las musas,

por Zeus, la Tierra y el Sol, por Afrodita, Hefesto y Dionisos,

y por todos los dioses y las diosas,

que nunca abandonaré las matemáticas

ni permitiré que la chispa que los dioses han prendido en mí se apague. 

Si no mantengo mi compromiso, que todos los dioses y diosas por los que he jurado se enfurezcan conmigo y muera de una muerte miserable;

y que si lo cumplo, me sean favorables.

6 agosto 2022 6 06 /08 /agosto /2022 05:08

El sentido común no es tan común

A.Arnauld

Matemáticos que han nacido o fallecido el día 6 de Agosto

      

Matemáticos nacidos este día:

1638 : Malebranche
1741 : John Wilson

 

 

 

 

 

Matemáticos fallecidos este día:

1694 : Arnauld
1925 : Ricci-Curbastro
1929: Emil Hilb 
1939 : Scorza
1945 : Koebe
1947 : William Thomson
1970: Zyoiti Suetuna
1970: Jan Popken
1998 : Weil
2002 : Dijkstra
2007 : Selberg

Curiosidades del día

  • Hoy es el ducentésimo décimo octavo día del año.
  • 218=72+132
  • 218 es el número más pequeño en una función Merten = 3. (Una definición aceptable es que el número Merten para n, M (n), es el recuento de los números enteros sin cuadrados hasta n que tienen un número par de factores primos, menos el número de los que tienen un número impar. ) La función se llama así en honor de Franz Merten, que fue profesor de Schrodinger.
  • 218 es el número de dígrafos sencillos de cuatro vértices.
  • 218 es un número semiprimo pues es producto de dos primos 218 = 2x109
  • 218 es un número modesto pues al dividirlo por 18 da 2 de resto
  • 218 es un número cortés pues puede expresarse como suma de naturales consecutivos  53 + ... + 56
  • 218 es un número apocalíptico pues 2218 contiene la secuencia 666.
  • 218 es deficiente pues la suma de sus divisores propios es menor que él.
  • 218 es un número odioso pues su expresión binaria contiene un número impar de unos.
  • 218 es un número libre de cuadrados pues en su descomposición factorial no se repite ningún factor

Tal día como hoy del año:

  • 1181, los astrónomos chinos observaron una supernova en la constelación ahora conocida como Cassiopeia, y la encontraron de forma independiente un día después en Japón. La "estrella invitada" permaneció visible durante 185 días (más de 6 meses).
  • 1456, Según una historia que apareció por primera vez en una biografía póstuma de 1475 y que posteriormente fue embellecida y popularizada por Pierre-Simon Laplace, Calixto III excomulgó la aparición de 1456 del cometa Halley, creyendo que era un mal presagio para los defensores cristianos de Belgrado de la ejércitos sitiadores del Imperio Otomano
  •  1618,Johannes Kepler determina que la distancia al sol es de 22,5 milllones km
  • 1855, Thomas Penyngton Kirkman presentó un artículo sobre la cuestión general de determinar una condición bajo la cual una gráfica es hamiltoniana. A diferencia de Hamilton, que estaba principalmente interesado en las conexiones algebraicas de un gráfico específico, Kirkman estaba interesado en el estudio general de los "circuitos hamiltonianos" en gráficos arbitrarios. Era el  rector de una parroquia inglesa pequeña y aislada, pero hizo contribuciones regulares e importantes a las matemáticas
  • 1945, Primera explosión de una bomba atómica sobre un área poblada, Hiroshima, Japón, del Enola Gay, un bombardero B-29
  • 2002, Se publicó la primera prueba de primalidad de tiempo polinómico. Manindra Agrawal, Neeraj Kayal y Nitin Saxena inventaron la primera prueba de tiempo polinomial demostrable para determinar la primalidad
  • 2003, Después de 61,40 días de cómputo, un problema sin resolver de 150 años finalmente ha sido resuelto, no hay recorrido de 8x8 del caballo que forme un cuadrado mágico.

Malebranche

Thumbnail of Nicolas Malebranche

Nicolás Malebranche era el más joven de un gran número de hermanos, pero su vida estuvo  muy influenciada por la enfermedad. Estuvo paralizado durante toda su vida con una columna vertebral deforme, lo que significaba que no iba a la escuela de forma habitual, pero fue educado en casa.

Malebranche tras leer Descartes se convirtió en un estudioso de las matemáticas y la física. Su reacción tras la lectura del Tratado del hombre fue:

La alegría de conocer a un número tan grande de descubrimientos le causó palpitaciones del corazón como que se vio obligado a dejar de leer con el fin de recobrar el aliento.

Malebranche dijo que Descartes había: ... en treinta años descubre más verdades que todos los demás filósofos juntos.

Malebranche también estuvo  influenciado por Leibniz , que visitó París en 1672. Los dos tenían muchas reuniones donde debatían ideas tanto de filosofía como de matemáticas y, en particular, Leibniz transmitió muchas de sus ideas acerca de su nuevo cálculo de Malebranche. 

Malebranche se convirtió en profesor de matemáticas en la Congregación del Oratorio de 1674. Él tuvo una gran influencia en el desarrollo de las matemáticas y la ciencia, principalmente a través del grupo que construyó en París. Matemáticos como Varignon ,  L'Hôpital , Guisnée y Reyneau pasaron a formar parte de este círculo en el Oratorio. 

A pesar de Malebranche no hizo descubrimientos matemáticos sobresalientes, es de gran importancia en el desarrollo de las matemáticas. Una de las contribuciones directas de Malebranche a las matemáticas fue su papel de editorial en la publicación de L'Hôpital de 's Analyse des petits pour l'Infiniment inteligencia des lignes courbes. Malebranche también tuvo una gran  influencia a través de su enseñanza, en particular, fue profesor de matemáticas y física de Molière y Reyneau . Otros no fueron tanto sus discípulos como sus oponentes, por ejemplo, mantuvo una disputa con Arnauld durante años.

Wilson

El matemático inglés Jhon Wilson tras  estudiar derecho estudió matemáticas en Cambridge con Waring. Fue profesor de matemáticas en Cambridge, pero prefirió dedicarse a la abogacía, llegando a ser decano del colegio de abogados de Middle Temple y juez, siendo elevado más tarde a la nobleza. Es conocido por el teorema que lleva su nombre: dado un número natural , el número (p-1)!+1 es primo si y sólo si p es primo.

El teorema fue enunciado sin demostración en 1770 y demostrado por Lagrange en 1773

Arnauld, la lógica o el arte de pensar

 

El prior, teólogo, filósofo y matemático francés Antoine Arnauld es, junto con Pierre Nicole, el autor de " La lógica o el arte de pensar":

"Cette logique a voulu s'appuyer exclusivement sur les mathématiques dont elle pensait pouvoir transposer le modèle dans tous les autres domaines du savoir et de l'exercice de la raison, par conséquent aussi sur le terrain de la formation syntaxique et grammaticale de tous les énoncés de langage, proposant ainsi un idéal de langage rationnel qui voudrait concilier l'esprit de finesse et l'esprit de géométrie : le discours classique par excellence"

Arnauld no se limitó al estudio de las cuestiones teológicas, fue uno de los primeros en adoptar la filosofía de Descartes pese a mantener algunas reservas acerca de su ortodoxia; y entre 1683 y 1685 se enfrascó en una disputa con Malebranche respecto a las relaciones de la teología con la metafísica. En este conflicto la opinión pública se puso a favor de Arnauld. Cuando Malebranche se lamentó de la incomprensión de su adversario, Boileau le cerró la boca con esta pregunta: “Monsieur, según vos ¿quién podría comprenderos, si M. Arnaud no consigue entenderos?” 

Con Pierre Nicole, Arnauld fue el autor de La logique ou l’art de penser (Lógica de Port-Royal), obra fundamental en la historia de esta disciplina, distinguida por la acusada influencia del cartesianismo que fue utilizada como manual elemental hasta el siglo XX

Arnauld fue considerado, asimismo, como uno de los grandes matemáticos de su tiempo; un crítico le llamó el Euclides del siglo XVII. Tras su fallecimiento, su reputación, en esta disciplina, empezó a decaer. Sus coetáneos le admiraban, considerándole con un maestro en los razonamientos complejos; después, naturalmente, de Bousset, el teólogo más sobresaliente, comparable a Aguesseau, el abogado más importante. Sin embargo, su ardor y pasión en la defensa de sus argumentos, no le granjeaban la simpatía de los demás. “Pese a mí mismo —dijo un día Arnauld con cierta amargura—, es rarísimo que mis libros sean muy cortos”.

Ricci-Curbastro

Thumbnail of Gregorio Ricci-Curbastro

El matemático italiano Gregorio Ricci-Curbastro, es famoso como el inventor del cálculo tensorial pero ha publicado trabajos importantes en muchos campos. Su publicación más famosa, el cálculo diferencial absoluto, fue publicada bajo el nombre de Ricci y como co-autor su ex alumno Tullio Levi-Civita. Esto parece ser la única vez que Ricci-Curbastro utilizó la forma acortada de su nombre en una publicación, y continúa causando confusión.

Influyó  sobre  él  el  matemático  Luigi  Bianchi,  continuador  de  la  obra  de  Christoffel.
Ricci trató de facilitar la búsqueda de propiedades geométricas y la expresión de leyes físicas en forma invariante bajo cambios del sistema de coordenadas. Sus trabajos más importantes sobre la materia se desarrollaron en los años 1887-1896, aunque siguió trabajando sobre ella durante veinte años más. En los citados primeros nueve años, Ricci desarrolló sus planteamientos y elaboró un sistema de notación completo  para  su  teoría, que  llamó  “cálculo diferencial  absoluto”. Ricci  introdujo  en  el  análisis  tensorial  una operación  que  llamó derivación  covariante,  que  ya  había  aparecido en los trabajos de Christoffel y Lipschitz. Desde el punto de vista puramente matemático, la derivada covariante  de  un  tensor  es  otro tensor  cuyo  rango  es  una  unidad  mayor  en  los índices  covariantes,  lo  que  es importante, pues  posibilita  el  tratamiento  de  dichas derivadas  en  el  marco  general  del  análisis tensorial.  También  tiene  significado geométrico:  suponiendo  que  se  tiene  un  campo vectorial constante en el plano, esto es, 
un conjunto de vectores, anclado cada uno de ellos en n punto distinto, pero con la misma magnitud y dirección. En tal caso, las componentes con respecto a  un  sistema  rectangular de coordenadas  son  también  constantes

Gracias a la geometría diferencial de Gauss y Riemann, Einstein encontró en este nuevo enfoque de la mecánica llamado cálculo tensorial, las herramientas matemáticas necesarias para su teoría de la relatividad

Scorza

El matemático italiano Bernardino Gaetano Scorza  contribuyó a la producción científica, especialmente en el campo de la geometría proyectiva , las matrices Reimann y la teoría de álgebras y grupos. Completó el trabajo iniciado por Federigo Enriques y Castelnuovo en la geometría de las transformaciones birracionales, sin embargo, sus descubrimientos más importantes permanecen vinculados a las funciones abelianas .

A partir de 1921, el foco principal de su investigación fue la teoría general de álgebras, que lo llevó a enfrentar los problemas de la teoría de números y la teoría de los grupos finitos. En 1942 el volumen de grupos abstractos se publicó a título póstumo, editado por Joseph Scorza Dragoni (su hijo) y Guido Zappa .

También se ha ocupado de los problemas de la economía política y la fotogrametría 

Fue consultor de Giovanni Gentile , entonces Ministro de Educación , como resultado de su reforma educativa de 1923

André Weil

El matemático francés André Weil , hermano de la filósofa Simone Weil, es conocido por su trabajo en teoría de números y en geometría algebraica.

Su tesis doctoral , Aritmética sobre curvas algebraicas, continua los trabajos de Poincaré sobre las propiedades aritméticas de las curvas algebraicas.

Fue uno de los fundadores del grupo Bourbaki, asimismo fue el principal artífice de la utilización del símbolo del conjunto vacio, extraído del alfabeto noruego, y sistemáticamente utilizado por el grupo.En  1947  escribió  un  artículo  titulado  El  futuro de las  matemáticas, en el que expone sus reflexiones al respecto impregnadas de meditaciones desesperanzadoras sobre la naturaleza  humana  (la  atrocidad  de  la  guerra recién  vivida). Busca  refugio  en  las  matemáticas,  a  las  que  ve  como  la  más  pura  de las  actividades intelectuales  del  hombre:  “El  matemático  seguirá  su  camino  en  la seguridad  de  que podrá  saciar  su  sed  en  las  mismas  fuentes  del  conocimiento, convencido  de  que  éstas no cesarán  de  fluir  puras  y  abundantes,  mientras  que  los demás  habrán  de  recurrir a las aguas cenagosas de una sórdida realidad. Si se le reprochase al matemático la soberbia de su actitud,  si  se  le  reclamase  su  colaboración, si se  le  demandase  porque  se  recluye  en  los altos  glaciares a los que nadie salvo los de su clase le pueden seguir, él contestará, con Jacobi: Por el honor del espíritu humano”. Se muestra preocupado por la dispersión de los saberes matemáticos e insiste en la importancia de los problemas matemáticos: “Las matemáticas son un organismo para cuya vitalidad es indispensable  la  unidad  de  sus  partes...  Cualquier  rama de  la  ciencia  está  viva  siempre que  tenga  problemas en abundancia”. Seleccionó una serie de temas con importancia futura: teoría de cuerpos de clases  y  sus  ramificaciones,  los grupos  discontinuos  y  las funciones automorfas  mediante  métodos  aritméticos, la teoría de fibrados, las clases de Chern, la teoría de Hodge, las variedades kählerianas, la teoría de Rham, la connivencia de la geometría algebraica con la topología y la geometría diferencial, los grupos  finitos,  la  teoría  de homología,  las  distribuciones  y  su  uso  en  ecuaciones en derivadas parciales, el análisis global y los sistemas dinámicos. Y expone el fascinante éxito de la aplicabilidad de   las   matemáticas,   no   sólo   en   los   campos   científicos   tradicionales,   sino   en   la   empresa,   la   administración,  la  ingeniería  o  la  tecnología:  la  aritmética  de los  números primos  y  la  geometría  algebraica en la criptografía y la codificación, la teoría de nudos y la mecánica cuántica o la genética, las  superficies  de  Riemann  y  las supercuerdas,  los procesos  estocásticos  y  las  finanzas,  las  redes  de  telecomunicaciones y las representaciones infinito-dimensionales de grupos, las curvas elípticas y las formas modulares en la resolución del gran teorema de Fermat, el análisis matemático y la geometría algebraicas  en  los  solitones,  la  modelización  matemática  de  la  epidemiología  y  el desarrollo  de  los  virus... 

Junto a Leray, recibió el premio Wolf en 1979.

Selberg

Thumbnail of Atle Selberg

El matemático noruego Atle Selberg recibió la medalla Fields en 1950 por su trabajo sobre el estudio de los ceros de la función de Riemann y su avance en el estudio de la dsitribución de los números primos, dando una prueba elemental del teorema de los números primos 

 

Fue también ganador del premio Wolf en 1986.

Según cuentan, desde el colegio mostró un gusto por las matemáticas, siendo Ramanujan quien lo inspiraba, más aún, se cuenta que fueron los trabajos de Ramanujan los que despertaron el gusto por las matemáticas. Sus estudios universitarios se llevaron a cabo en la Universidad de Oslo, donde obtuvo su título de matemático y de Doctor. Además de obtener su primer titulo académico, Selberg empezó a enfocarse en un problema: La hipótesis de Riemann. Selberg empezó a tratar con uno de los problemas abiertos más famosos, difíciles e interesantes de las matemáticas, si bien a lo largo de su carrera universitaria no pudo resolver el problema, ya cuando finalizó sus estudios de doctorado había publicado 12 artículos, los cuatro últimos acerca de la función zeta de Riemann .

Esto da inicio la carrera investigativa de un gran matemático.Empieza un recorrido de investigación en el que la meta era la hipótesis de Riemann, meta que por desgracia no logró dar solución. Pero dejó resultados como la demostración de que una proporción positiva de los ceros no triviales están en la recta sigma=1/2. En 1947, Selberg viaja a estados unidos trabajando en el Instituto para estudios avanzados de Princeton, luego pasó a la Universidad de Siracusa como profesor asociado entre el ’48 y ’49, para luego convertirse en miembro permanente de Princeton ya para el año de 1951. Finalmente en 1987 se convirtió en profesor emérito de la misma universidad. Para tal fecha Selberg había obtenido la medalla Field por sus numerosas contribuciones a la teoría de números, los grupos discretos y las formas automórficas. Pero esencialmente, por su resultado acerca de los ceros de la función zeta de Riemann y por obtener una demostración elemental del Teorema de los Números Primos [TNP]. Selberg dio vida a una teoría de poco movimiento como lo era la teoría de cribas, no digo que dicha teoría no haya logrado resultados antes que Selberg, el teorema de Chen acerca de la conjetura de Goldbach es un contraejemplo, sino que reformuló y construyó otros métodos, como lo es la criba de Selberg  y además la formula de Selberg; que es la esencia de la demostración elemental TNP.. Adjunto a la medalla Field, Selberg obtuvo el Premio Wolf en el año 1986. En el año 2002, el gobierno noruego creo el premio Abel siendo Selberg el primer matemático en obtenerlo como un premio especial.

Dijkstra

 

El matemático holandés Edsger Wybe Dijkstra, hijo de un químico y una matemática, estudio física y matemáticas en la Univ. de Leyden. En 1952 comenzó a trabajar en el Centro Matemático de Amsterdam donde aprendió a programar, siendo el primer programador en Holanda

El trabajo de Dijkstra siempre se ha caracterizó por su elegancia y simplicidad, sin comprometer el rigor de su investigación con consideraciones económicas, políticas o administrativas. Contaba el mismo que al preguntarle a su madre cuán difícil eran las matemáticas, ella le contestó: "aprende todas las fórmulas y que si alguna vez necesitaba más de cinco líneas para demostrar algo, estaba en el camino equivocado". En 1972 recibió el premio Turing,  su discurso fue publicado en un artículo titulado "The Humble Programmer" (el programador humilde) ese mismo año en Communications of the ACM. Recientemente, en esta misma revista, publicaba un artículo corto titulado "The End of Computing Science?" (El Fin de la Computación), donde recalcaba que el objetivo principal de la computación, ¿Cómo no convertir un programa en un caos?, todavía no se había logrado.

Dijkstra escribió más de 1300 artículos, pero indudablemente hay tres contribuciones cuyo impacto está presente en numerosos ámbitos de la computación moderna:

  • Algoritmo para encontrar el camino más corto en un grafo: este fue el primer problema de grafos que resolvió Dijkstra en 1956 y publicado en 1959 por que en esa época un algoritmo era difícilmente considerado un logro científico. Hoy en día, este algoritmo ha sido usado como la base para protocolos de enrutamiento en Internet, sistemas de posicionamiento global o simplemente para itinerarios de viaje.
  • El concepto de abrazo mortal (deadlock) y su solución a través de semáforos y regiones de código con acceso exclusivo. Dijkstra describió el problema con la cena de los famosos cinco filósofos que sólo tenían cinco palillos para comer arroz (ver figura). Si ellos no se ponían de acuerdo y tomaban un palillo cada uno, creaban un deadlock y morían de hambre pues se necesitaban dos palillos para comer. Esta es la base de la programación concurrente y una parte fundamental de cualquier sistema operativo.
  • Su aporte a la programación estructurada. Dijkstra participó en el comité que diseño Algol 60, el primer lenguaje de programación estructurado, y lo promovió intensamente fomentando la verificación formal de programas y la eliminación del goto. En este tema fue autor y coautor de varios libros, además de su artículo corto  "Go To statement considered harmful" (La instrucción go to es considerada dañina) publicado en Communications of ACM en 1968, que es legendario

Koebe

El matemático  alemán Paul Koebe, nació  en  Luckenwalde.  Estudió  en  Berlín  y  fue profesor en Leipzig y Jena. Clebsch había demostrado (1865) para una función f(w,z) =0 de género 0, que  cada una  de  las  variables  puede  expresarse  como  una  función racional de  un  solo  parámetro,  es decir, que se pueden representar w y z como funciones univaluadas o uniformes del parámetro, y a estas funciones racionales se les llama funciones uniformizadoras. En el mismo año, Clebsch lo demostró para las funciones de género 1, por medio de funciones  elípticas  de  un  parámetro,  y von  Brill  en  1886,  para las  de  género  2,  mediante  funciones  racionales de ξ y η donde η2 es un polinomio de quinto o sexto grado en ξ. En 1907, Poincaré y Koebe dieron  independientemente  una demostración  del  teorema  de  uniformización  para  curvas,  que  al  ser  establecido rigurosamente ha hecho posible un tratamiento perfeccionado de las funciones algebraicas y  de  sus  integrales  (se trata  del  problema  22  de  lo  propuestos  por  Hilbert  en  1900).  Riemann  en  su  tesis de 1851 en Gotinga, Fundamentos de una teoría general de funciones de una variable compleja, afirmó  que  si  D  y  G  son  dominios  simplemente  conexos  propios  del  plano,  entonces  existe  una  aplicación conforme de D sobre G. La demostración dada por Riemann no era rigurosa. En la década de 1910, varios matemáticos obtuvieron demostraciones rigurosas, entre ellos Koebe. 

Hilb

Miniatura de Emil Hilb

El matemático alemán Emil Hilb hizo un excelente trabajo en funciones especiales, ecuaciones diferenciales y ecuaciones en diferencias. También son importantes sus contribuciones al Enzyklopädie der mathischen Wissenschaften .

Escribió en el CV adjunto a su tesis de habilitación de 1907  : 
Para continuar mi educación en teoría de funciones, fui a la Universidad de Berlín durante dos años, donde asistí a las conferencias del profesor Fuchs sobre ecuaciones diferenciales y teoría de funciones superiores ( funciones automórficas, etc. ) . A través de conferencias con el profesor HA Schwarz , conocí las ideas de Weierstrass allí; en los coloquios dirigidos por Schwarz , conocí sus trabajos básicos sobre mapeo conforme y problemas de valores de frontera, que se publican en el segundo volumen de las obras completas de Schwarz [ 'Gesammelte Mathematische Abhandlungen von HA Schwarz

Después de dos años en Berlín, Hilb regresó a Munich en 1902, donde su asesor de tesis fue Ferdinand von Lindemann . Su tesis de 60 páginas Beiträge zur Theorie der Laméschen Funktionen obtuvo su doctorado en diciembre de 1903 'summa cum laude'. Ya había superado las dos etapas, en 1901 y 1903 , de los exámenes estatales que lo calificaban para enseñar matemáticas y física en los gimnasios. Ambas partes fueron calificadas como "muy buenas". Luego fue a Gotinga para continuar sus estudios e inmediatamente se le presentó el proyecto actual de David Hilbert sobre Los principios de una teoría general de ecuaciones integrales lineales . La otra persona en Gotinga que fue una gran influencia para él fue Felix Klein . Hilb escribió en el CV en su tesis de habilitación de 1907 :
Las sugerencias que recibí entonces y en años posteriores a través de la correspondencia oral y escrita entre el profesor Hilbert y el profesor Klein fueron de gran influencia para mi trabajo publicado después de la tesis doctoral.

A pesar de enseñar temas elementales a tiempo completo, Hilb también estaba realizando investigaciones con el objetivo de ingresar a la docencia universitaria. El 21 de noviembre de 1904 , le escribió a Hilbert explicándole que había aplicado con éxito el método de ecuaciones integrales de Hilbert a un problema de teoría potencial y le preguntó si valía la pena escribir y publicar sus resultados. Hilbert lo animó a escribir los resultados y aparecieron como el primer artículo de Hilb Die Reihenentwicklungen der Potentialtheorie publicado en Mathematische Annalen en 1906

Hilb presentó su tesis de habilitación Über Integraldarstellungen willkürlicher Funktionen Ⓣa la Universidad de Erlangen en 1907 y se pidió a Paul Gordan y Max Noether que informaran al respecto. Ellos escribieron:-
El trabajo contiene un progreso muy notable en un área aún fresca. En este trabajo el autor ha retomado con gran energía estos desarrollos, que son prometedores para el conjunto de la teoría funcional y también para la física matemática. Se puede ver que domina todas las técnicas teóricas funcionales y es muy agudo.

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